文章目录

1. 位图的介绍
2. 位图的概念
3. 位图的实现
- 🍑 构造函数
- 🍑 设置指定位
- 🍑 清除指定位
- 🍑 获取指定位的状态
- 🍑 打印函数
4. 总结

1. 位图的介绍

在介绍位图之前先来看一道面试题吧

给 40 亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这 40 亿个数中。

对于判断一个数是否在某一堆数中，主要有以下方法：

将这一堆数插入到 unordered_set/set 容器中，然后调用 find 函数判断该数是否在这一堆数中。
将这一堆数进行外排序，然后通过二分查找的方法判断该数是否在这一堆数中。

对于上面两种方法，第一种的时间复杂度是 $O (Nl o g N)$ ，第二种的时间复杂度是 $O (N)$ 。

但是有一个问题，题目给的是 40 亿个无符号的整数，如果把这些数全部加载到内存当中，那么将会占用 16G 的空间，空间消耗是很大的。因此，上面这两种方法都是不可行的。

那么怎么来解决呢？很简单，我们可以用位图（bitset）来解决！

对于数据是否在给定的整形数据中，只需要判断在或者不在，刚好是两种状态，那么可以使用一个 二进制比特位 来代表数据是否存在的信息，如果二进制比特位为 1，代表存在；如果比特位为 0，代表不存在。

如下图所示，对于 arr 集合里面的数据，我们只需要用 3 个字节（24 个 bit 位）的大小即可表示：

在这里插入图片描述

那么对于 40 亿个无符号的整型数据来说，无符号整数总共有 $2^{32}$ 个，因此记录这些数字就需要 $2^{32-1}$ 个比特位（比特位是从 0 开始的，所以要减 1），也就是大约 500M 的内存空间，内存消耗大大减少。

2. 位图的概念

所谓位图，就是用每一位来存放某种状态，适用于海量数据，数据无重复的场景。通常是用来判断某个数据存不存在的。

3. 位图的实现

位图的定义需要一段连续的物理空间，所以可以拿 vector 来存储，另外，对于位图的存储，我们是不能控制 bit 位的，但是我们可以控制字节，那么就可以把 char 或者 int 存在数组里面去。

假设数组里面存储的是 char，那么 1 个 char 就代表 8 个 bit 位。

位图的类如下：

// N个比特位的位图
template<size_t N>
class BitSet
{
public:
	// 构造函数
	BitSet();

	// 设置指定位（将x映射的位标记成1）
	void set(size_t x);

	// 清空指定位（将x映射的位标记成0）
	void reset(size_t x);

	// 获取指定位的状态
	bool test(size_t x);
	
	// 容纳的比特位的个数
	size_t size()
	
	//打印函数
	void Print()
private:
	vector<char> _bits; // vector数组里面存的是一个char类型
};

🍑 构造函数

在构造位图时，我们需要根据所给位数 N，创建一个 N 位的位图，并且将该位图中的所有位都初始化为 0。

但是一个 char 有 8 个比特位，因此 N 个位的位图就需要用到 N / 8 个 char 类型，但是实际我们所需的 char 个数是 N/8+1，为什么呢？因为所给非类型模板参数 N 的值可能并不是 8 的整数倍。

举个例子，当 N 为 10 的时候，那么 10 / 8 = 1 相当于只开了 1 个 char 类型，那如果我去访问第 9 个和第 10 个 bit 位的话，不就越界了吗？

所以要 N/8+1，我知道有人肯定会担心浪费空间，我想说的是，当 N 是 8 的倍数时，可以被整除，那么此时也就才浪费 1 个 char 也就是 8 个 bit 位而已，所以无伤大雅。

代码示例

// 构造函数
BitSet()
{
	// +1保证了足够的比特位，最多浪费8个
	_bits.resize(N / 8 + 1, 0);
}

🍑 设置指定位

set 接口就是用来把 x 映射的位标记成 1，并且不能影响其它比特位，那么我怎么知道 x 映射的比特位在哪儿呢？

很简单，方法如下：

先用 x / 8 = i 计算 x 应该存储在数组的第 i 个 char 对象中
然后再用 x % 8 = j 计算 x 应该存储在第 i 个 char 中的第 j 个比特位上
最后将第 i 个 char 对象的第 j 个比特位设置为 1 即可

前两步很简单，对于第三步，如何设置呢？

很简单，先将数字 1 左移 j 位后，再和第 i 个 char 对象也就是 _bits[i] 进行 或运算 即可

举个例子，我们现在要把数字 19 映射在位图上。

第一步，先用 19 / 8 = 2 得出要存在数组的第 2 个 char 对象中。

第二步，再用 19 % 8 = 3 得出要存在第 3 个比特位上

第三步，先将数字 1 左移 3 位得到：1 << 3 = 00001000 = 8，然后再和 bits[2] 进行 或运算 得出结果：

在这里插入图片描述

代码示例

// 设置指定位（将x映射的位标记成1）
void set(size_t x)
{
	// x映射的比特位在第几个char对象
	size_t i = x / 8;

	// x在char第几个比特位
	size_t j = x % 8;

	// 先左移，再进行或运算
	_bits[i] |= (1 << j);
}

🍑 清除指定位

reset 接口就是用来把 x 映射的位标记成 0，并且不能影响其它比特位。

很简单，方法如下：

先用 x / 8 = i 计算 x 应该存储在数组的第 i 个 char 对象中
然后再用 x % 8 = j 计算 x 应该存储在第 i 个 char 中的第 j 个比特位上
最后将第 i 个 char 对象的第 j 个比特位设置为 0 即可

前两步很简单，对于第三步，如何设置呢？

很简单，先将数字 1 左移 j 位后，然后再对其进行 按位取反，最后再和第 i 个 char 对象也就是 _bits[i] 进行 与运算。

我们还是举个例子，我们现在要把数字 19 从映射的位置上清除掉。

第一步，先用 19 / 8 = 2 得出要存在数组的第 2 个 char 对象中。

第二步，再用 19 % 8 = 3 得出要存在第 3 个比特位上

第三步，先将数字 1 左移 3 位得到：1 << 3 = 00001000 = 8，然后再把数字 8 进行按位取反得到：~8 = 11110111，然后再和 bits[2] 进行 与运算 得出结果即可。

在这里插入图片描述

注意：因为在设置指定位的时候，数字 19 已经被存储在 bits[2] 上了，所以 bits[2] 的比特位不是全为 0 哦！

代码示例

// 清空指定位（将x映射的位标记成0）
void reset(size_t x)
{
	// x映射的比特位在第几个char对象
	size_t i = x / 8;

	// x在char第几个比特位
	size_t j = x % 8;

	// 先左移，再按位取反，最后进行与运算
	_bits[i] &= (~(1 << j));
}

🍑 获取指定位的状态

test 用来获取位图中指定的位的状态，要么是 1，要么是 0。

很简单，方法如下：

先用 x / 8 = i 计算 x 应该存储在数组的第 i 个 char 对象中
然后再用 x % 8 = j 计算 x 应该存储在第 i 个 char 中的第 j 个比特位上
最后判断第 i 个 char 对象的第 j 个比特位的状态
- 如果是 0，说明该比特位没有被设置
- 如果是非 0，说明该比特位被设置

前两步很简单，对于第三步，如何判断呢？

很简单，先将数字 1 左移 j 位后，再和第 i 个 char 对象也就是 _bits[i] 进行 与运算。

我们还是举个例子，假设数字 19 已经被映射到位图上去了，我们现在要判断数字 19 在不在上面。

第一步，先用 19 / 8 = 2 得出要存在数组的第 2 个 char 对象中。

第二步，再用 19 % 8 = 3 得出要存在第 3 个比特位上

第三步，先将数字 1 左移 3 位得到：1 << 3 = 00001000 = 8，然后再和 bits[2] 进行 与运算 得出结果即可。

在这里插入图片描述

代码示例

// 获取指定位的状态
bool test(size_t x)
{
	// x映射的比特位在第几个char对象
	size_t i = x / 8;

	// x在char第几个比特位
	size_t j = x % 8;

	// 先左移，再进行与运算，最后直接返回与运算的结果即可
	return _bits[i] & (1 << j);
}

🍑 打印函数

最后可以实现一个打印函数 Print，用来检查我们上述代码的正确性。

对于 Print 函数的实现，也很简单，只需要遍历位图所包含的比特位进行打印即可。在打印位图的过程中可以顺便统计位图中位的个数 count，然后将 count 与我们传入的非类型模板参数 N 进行比较，可以判断位图大小是否是符合我们的预期。

代码示例

// 容纳的比特位的个数
size_t size()
{
	return N;
}

//打印函数
void Print()
{
	int count = 0;
	size_t n = _bits.size();

	// 先打印前n-1个数
	for (size_t i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		for (size_t j = 0; j < 8; j++)
		{
			if (_bits[i] & (1 << j)) //该位被设置
				cout << "1";
			else //该位未被设置
				cout << "0";
			count++;
		}
	}

	// 再打印最后一个数的前(N%8)位
	for (size_t j = 0; j < N % 8; j++)
	{
		if (_bits[n - 1] & (1 << j)) //该位被设置
			cout << "1";
		else //该位未被设置
			cout << "0";
		count++;
	}
	cout << "\n" << count << endl; //打印总共打印的位的个数
}