09- 逻辑回归算法 (LogisticRegression) (机器学习)

基本概念: 逻辑回归主要逻辑是通过sigmoid函数进行分类, 当函数结果大于0时赋值1, 小于0时赋值0, 然后根据结果进行分类, 化简后求最小值的过程和线性方程类似, 该函数的特点是:
${\color{Red} f'(x) = f(x) * (1 - f(x))}$
分类算法模型训练 : lr = LogisticRegression()

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X_train, y_train)
y_predict = lr.predict(X_test)

1、广义线性回归到逻辑回归

逻辑回归不是一个回归的算法，逻辑回归是一个分类的算法，好比卡巴斯基不是司机，红烧狮子头没有狮子头一样。那为什么逻辑回归不叫逻辑分类？因为逻辑回归算法是基于多元线性回归的算法。而正因为此，逻辑回归这个分类算法是线性的分类器。未来我们要学的基于决策树的一系列算法，基于神经网络的算法等那些是非线性的算法。SVM 支持向量机的本质是线性的，但是也可以通过内部的核函数升维来变成非线性的算法。
逻辑回归中对应一条非常重要的曲线S型曲线，对应的函数是Sigmoid函数(它有一个非常棒的特性，其导数可以用自身表示, 根据该特性可以求损失函数的最小值)： $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

1.1 Sigmoid函数介绍

逻辑回归就是在多元线性回归基础上把结果 (result) 缩放到 0 ~ 1 之间。 hx越接近 1 越是正例，hx越接近 0 越是负例，根据中间 0.5 将数据分为二类。其中hx 就是概率函数~

逻辑回归中对应一条非常重要的曲线S型曲线，对应的函数是Sigmoid函数：

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

它有一个非常棒的特性，其导数可以用其自身表示：

${\color{Red} f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} =f(x) * \frac{1 + e^{-x} - 1}{1 + e^{-x}} = f(x) * (1 - f(x))}$

我们知道分类器的本质就是要找到分界，所以当我们把 0.5 作为分类边界时，我们要找的就是

$\hat{y} = h_{\theta}(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}} = 0.5$ 即 $z = \theta^Tx = 0$ 时， $\theta$ 的解~

我们知道二分类有个特点就是正例的概率 + 负例的概率 = 1。一个非常简单的试验是只有两种可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复等等。为方便起见，记这两个可能的结果为 0 和 1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。如果随机变量 x 只取 0 和 1 两个值，并且相应的概率为：

$Pr(x = 1) = p;Pr(x = 0) = 1-p;0 < p < 1$

则称随机变量 x 服从参数为 p 的Bernoulli伯努利分布( 0-1分布),逻辑回归二分类任务会把正例的 label 设置为 1，负例的 label 设置为 0，对于上面公式就是 x = 0、1。

2、逻辑回归公式推导

2.1、损失函数推导

这里我们依然会用到最大似然估计思想，根据若干已知的 X,y(训练集) 找到一组 $\theta$ 使得 X 作为已知条件下 y 发生的概率最大。

$P(y|x;\theta) = \begin{cases}h_{\theta}(x), &y = 1\\1-h_{\theta}(x),& y = 0\end{cases}$

整合到一起（二分类就两种情况：1、0）得到逻辑回归表达式：

$P(y|x;\theta) = (h_{\theta}(x))^{y}(1 - h_{\theta}(x))^{1-y}$

总结，得到了逻辑回归的表达式，下一步跟线性回归类似，构建似然函数，然后最大似然估计，最终推导出 θ \theta θ 的迭代更新表达式。只不过这里用的不是梯度下降，而是梯度上升，因为这里是最大化似然函数。通常我们一提到损失函数，往往是求最小，这样我们就可以用梯度下降来求解。最终损失函数就是上面公式加负号的形式:

$J(\theta) = -l(\theta) = -\sum\limits_{i = 1}^n[y^{(i)}\ln(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\ln(1-h_{\theta}(x^{(i)}))]$

2.2、立体化呈现

from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn.preprocessing import scale # 数据标准化Z-score

# 1、加载乳腺癌数据
data = datasets.load_breast_cancer()
X, y = scale(data['data'][:, :2]), data['target']

# 2、求出两个维度对应的数据在逻辑回归算法下的最优解
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X, y)

# 3、分别把两个维度所对应的参数W1和W2取出来
w1 = lr.coef_[0, 0]
w2 = lr.coef_[0, 1]
print(w1, w2)

# 4、已知w1和w2的情况下，传进来数据的X，返回数据的y_predict
def sigmoid(X, w1, w2):
    z = w1*X[0] + w2*X[1]
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# 5、传入一份已知数据的X，y，如果已知w1和w2的情况下，计算对应这份数据的Loss损失
def loss_function(X, y, w1, w2):
    loss = 0
    # 遍历数据集中的每一条样本，并且计算每条样本的损失，加到loss身上得到整体的数据集损失
    for x_i, y_i in zip(X, y):
        # 这是计算一条样本的y_predict，即概率
        p = sigmoid(x_i, w1, w2)
        loss += -1*y_i*np.log(p)-(1-y_i)*np.log(1-p)
    return loss

# 6、参数w1和w2取值空间
w1_space = np.linspace(w1-2, w1+2, 100)
w2_space = np.linspace(w2-2, w2+2, 100)
loss1_ = np.array([loss_function(X, y, i, w2) for i in w1_space])
loss2_ = np.array([loss_function(X, y, w1, i) for i in w2_space])

# 7、数据可视化
fig1 = plt.figure(figsize=(12, 9))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(w1_space, loss1_)

plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(w2_space, loss2_)

plt.subplot(2, 2, 3)
w1_grid, w2_grid = np.meshgrid(w1_space, w2_space)
loss_grid = loss_function(X, y, w1_grid, w2_grid)
plt.contour(w1_grid, w2_grid, loss_grid,20)

plt.subplot(2, 2, 4)
plt.contourf(w1_grid, w2_grid, loss_grid,20)
# plt.savefig('./图片/4-损失函数可视化.png',dpi = 200)

# 8、3D立体可视化
fig2 = plt.figure(figsize=(12,6))
ax = Axes3D(fig2)
ax.plot_surface(w1_grid, w2_grid, loss_grid,cmap = 'viridis')
plt.xlabel('w1',fontsize = 20)
plt.ylabel('w2',fontsize = 20)
ax.view_init(30,-30)
# plt.savefig('./图片/5-损失函数可视化.png',dpi = 200)

3、逻辑回归迭代公式

3.1、函数特性

逻辑回归参数更新规则和，线性回归一模一样！

$\theta_j^{t + 1} = \theta_j^t - \alpha\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}J(\theta)$ . $\alpha$ 表示学习率

逻辑回归函数：

$\theta_j^{t+1} = \theta_j^t - \alpha \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(h_{\theta}(x^{(i)}) -y^{(i)})x_j^{(i)}$

3.2、代码实战

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 1、数据加载
iris = datasets.load_iris()

# 2、数据提取与筛选
X = iris['data']
y = iris['target']
cond = y != 2
X = X[cond]
y = y[cond]

# 3、数据拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)

# 4、模型训练
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X_train, y_train)

# 5、模型预测
y_predict = lr.predict(X_test)
print('测试数据保留类别是：',y_test)
print('测试数据算法预测类别是：',y_predict)
print('测试数据算法预测概率是：\n',lr.predict_proba(X_test))

4、逻辑回归做多分类

4.1、One-Vs-Rest思想

在上面，我们主要使用逻辑回归解决二分类的问题，那对于多分类的问题，也可以用逻辑回归来解决！

One-Vs-Rest（ovr）的思想是把一个多分类的问题变成多个二分类的问题。转变的思路就如同方法名称描述的那样，选择其中一个类别为正类（Positive），使其他所有类别为负类（Negative）。比如第一步，我们可以将 △所代表的实例全部视为正类，其他实例全部视为负类，同理我们把 × 视为正类，其他视为负类，可以得到第二个分类器.

对于一个三分类问题，我们最终得到 3 个二元分类器。在预测阶段，每个分类器可以根据测试样本，得到当前类别的概率。即 P(y = i | x; θ)，i = 1, 2, 3。选择计算结果最高的分类器，其所对应类别就可以作为预测结果。
One-Vs-Rest 作为一种常用的二分类拓展方法，其优缺点也十分明显：

优点：普适性还比较广，可以应用于能输出值或者概率的分类器，同时效率相对较好，有多少个类别就训练多少个分类器。
缺点：很容易造成训练集样本数量的不平衡（Unbalance），尤其在类别较多的情况下，经常容易出现正类样本的数量远远不及负类样本的数量，这样就会造成分类器的偏向性。

4.2、代码实战

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 1、数据加载
iris = datasets.load_iris()
# 2、数据提取
X = iris['data']
y = iris['target']
# 3、数据拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)
# 4、模型训练
lr = LogisticRegression(multi_class = 'ovr')
lr.fit(X_train, y_train)
# 5、模型预测
y_predict = lr.predict(X_test)
print('测试数据保留类别是：',y_test)
print('测试数据算法预测类别是：',y_predict)
print('测试数据算法预测概率是：\n',lr.predict_proba(X_test))

5、多分类Softmax回归

5.1、多项分布指数分布族形式

Softmax 回归是另一种做多分类的算法。从名字中大家是不是可以联想到广义线性回归，Softmax 回归是假设多项分布的，多项分布可以理解为二项分布的扩展。投硬币是二项分布，掷骰子是多项分布。

我们知道，对于伯努利分布，我们采用 Logistic 回归建模。那么我们应该如何处理多分类问题？对于这种多项分布我们使用 softmax 回归建模。

y 有多个可能的分类： $y \in \{1,2,3,......,k\}$

每种分类对应的概率： $\phi_1,\phi_2.......\phi_k$ ，由于 $\sum\limits_{i = 1}^k\phi_i = 1$ ，所以一般用 k-1个参数 $\phi_1,\phi_2......\phi_{k-1}$ 。其中：

$p(y = i;\phi) = \phi_i$
$p(y = k;\phi) = 1 - \sum\limits_{i = 1}^{k -1}\phi_i$

5.2、广义线性模型推导Softmax回归

通过数据提取，创建三分类问题
参数multi_class设置成multinomial表示多分类，使用交叉熵作为损失函数
类别的划分，通过概率比较大小完成了

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 1、数据加载
iris = datasets.load_iris()

# 2、数据提取
X = iris['data']
y = iris['target']

# 3、数据拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)

# 4、模型训练，使用multinomial分类器，表示多分类
lr = LogisticRegression(multi_class = 'multinomial',max_iter=5000)
lr.fit(X_train, y_train)

# 5、模型预测
y_predict = lr.predict(X_test)
print('测试数据保留类别是：',y_test)
print('测试数据算法预测类别是：',y_predict)
print('测试数据算法预测概率是：\n',lr.predict_proba(X_test))