一、模型介绍
- 天气有以下几种状态：晴天、雨天、阴天
- 若已知天气当前处于某种状态，则天气未来的状态只与现在有关，与过去无关
- 注意，天气的状态是随机的，只能求明天处于某一种状态的概率
- 描述这种随机现象的模型，成为马尔科夫模型
二、从天气到马尔科夫链
- 离散时间 {\color{DarkRed}离散时间} 离散时间：昨天天气为初始时间 n = 1 n=1 n=1，今天 n = 2 n=2 n=2，明天 n = 3 n=3 n=3，…
- 状态空间 {\color{DarkRed}状态空间} 状态空间：天气处于晴天 j = 1 j=1 j=1，雨天 j = 2 j=2 j=2，阴天 n = 3 n=3 n=3
- 状态 {\color{DarkRed}状态} 状态：Xn=j表示第n天的天气为状态j，例如 X 4 = 3 X_{4}=3 X4=3，表示第四天天气为阴天
- 马尔科夫链 {\color{DarkRed}马尔科夫链} 马尔科夫链：设{ X n X_{n} Xn， n = 1 ， 2 ， … n=1，2，… n=1，2，…}，是一个随机序列（即天气在第n天的状态是随机的）
- 假设已知天气第一天为晴天，第二天为雨天，第三天为阴天，…… X n = 2 Xn=2 Xn=2
- 那么第
n
+
m
n+m
n+m天的天气为晴天的概率是多少？
P ( X n + m = 1 ∣ X n = 2 , . . . X 3 = 3 , X 2 = 2 , X 1 = 1 ) = P ( X n + m = 1 ∣ X n = 2 ) P({X_{n+m}}=1|X_{n}=2,...X_{3}=3,X_{2}=2,X_{1}=1)=P({X_{n+m}}=1|X_{n}=2) P(Xn+m=1∣Xn=2,...X3=3,X2=2,X1=1)=P(Xn+m=1∣Xn=2) - 在条件概率表达式里，只有第n天的条件才是有用的！！！
三、适用题目
1、健康与疾病
- 人的健康状态随时间变化，变化又是随机的，
- 预测一个人下一年的健康状态，只需要看当前的状态
- 与优化模型相结合，例如保险公司追求收益最大化，需要预测投保人的健康状态
2、销售与储存
- 部分商品销量少，销售量随机，商家需要根据一周的销量决定是否进货
3、等级结构
- 预测下一年级别的变动，只与当前级别有关
- 若第 n n n天天气处于状态 i i i，则经过了 m m m天后，天气处于状态 j j j的概率满足：
-
则称{ X n Xn Xn， n = 1 ， 2 ， … n=1，2，… n=1，2，…}为时齐的马尔科夫链
-
两种状态转换的概率，只与时间间隔有关，与更早的过去无关，也与起始时刻无关
-
是否满足时齐，由问题本身决定，一般带有周期性的问题才会满足时齐(如销售类问题，可以在论文的模型假设里写上“假设销售规律满足时齐性”)
-
当 m = 1 m=1 m=1时称 P i j ( 1 ) P_{ij}(1) Pij(1)为一步转移概率，所有 P i j ( 1 ) P_{ij}(1) Pij(1)所组成的矩阵成为马尔科夫链的一步转移矩阵
4、典型例题
四、马尔科夫预测与其他预测的区别
- 其他预测模型：计算的是数值，理论上有无数种可能
- 马尔科夫预测：计算的是概率，需要有限种已知的可能结果
- 例如根据城市近几年噪声值，预测下一年噪声值，则有无数种可能，不能使用马尔科夫预测
- 例如某商品销量有0-10工11种可能，则可以用马尔科夫预测下个月销量最有可能是几
五、SPSSAU例子
输入状态转移矩阵
可知，第五天为晴天的概率是0.3335
