贝塞尔曲线
一阶贝塞尔曲线
P
0
1
P_0^1
P01由两个控制点
P
0
P_0
P0和
P
1
P_1
P1完全定义，相当于线性插值。随着
t
t
t从0到1变化，贝塞尔点从
P
0
P_0
P0移动到
P
1
P_1
P1.
P
0
1
=
(
1
−
t
)
P
0
+
t
P
1
,
t
∈
[
0
,
1
]
P_{0}^{1}=\left( 1-t\right) P_{0}+tP_{1}\quad,t\in[0,1]
P01=(1−t)P0+tP1,t∈[0,1]
二阶贝塞尔曲线由一阶贝塞尔曲线递归定义。三个控制点
P
0
P_0
P0、
P
1
P_1
P1、
P
2
P_2
P2，二阶贝塞尔曲线的产生完全由这三个点的位置决定。
三个控制点每两个相邻的控制点产生一个一阶贝塞尔点，两个一阶贝塞尔点，于是得到两个点；
两个点形成一个线段，这个线段上有一个点在运动，于是得到一个点；
P
1
1
=
(
1
−
t
)
P
1
+
t
P
2
P
0
2
=
(
1
−
t
)
P
0
1
+
t
P
1
1
=
(
1
−
t
)
[
(
1
−
t
)
P
0
+
t
P
1
]
+
t
[
(
1
−
t
)
P
1
+
t
P
2
]
=
P
0
(
1
−
t
)
2
+
2
P
1
t
(
1
−
t
)
+
P
2
t
2
\begin{aligned} P_{1}^{1}&=\left( 1-t\right) P_{1}+tP_{2}\\ P_{0}^{2}&=\left( 1-t\right) P_{0}^{1}+tP_{1}^{1}\\ &=\left( 1-t\right) \left[ \left( 1-t\right) P_{0}+tP_{1}\right] +t\left[ \left( 1-t\right) P_{1}+tP_{2}\right] \\ &=P_{0}\left( 1-t\right) ^{2}+2P_{1}t\left( 1-t\right) +P_{2}t^{2} \end{aligned}
P11P02=(1−t)P1+tP2=(1−t)P01+tP11=(1−t)[(1−t)P0+tP1]+t[(1−t)P1+tP2]=P0(1−t)2+2P1t(1−t)+P2t2
三阶贝塞尔曲线：
P
0
3
=
P
0
(
1
−
t
)
3
+
3
P
1
t
(
1
−
t
)
+
3
P
2
t
(
1
−
t
)
+
P
2
t
3
P_0^3=P_{0}\left( 1-t\right) ^{3}+3P_{1}t\left( 1-t\right) + 3P_{2}t\left( 1-t\right)+P_{2}t^{3}
P03=P0(1−t)3+3P1t(1−t)+3P2t(1−t)+P2t3
通用递归定义公式：
P
i
k
=
{
P
i
k
=
0
(
1
−
t
)
P
i
k
−
1
+
t
P
i
+
1
k
−
1
k
⩾
1
P_{i}^{k}=\begin{cases} P_i&k=0\\ \left( 1-t\right) P_{i}^{k-1}+tP_{i+1}^{k-1}&k\geqslant1 \end{cases}
Pik={Pi(1−t)Pik−1+tPi+1k−1k=0k⩾1
总结规律可得n阶贝塞尔曲线的公式为：
P
i
n
=
∑
j
=
0
n
C
n
j
(
1
−
t
)
n
−
j
t
j
P
i
+
j
t
∈
[
0
,
1
]
P_{i}^{n}=\sum ^{n}_{j=0}C_{n}^{j}\left( 1-t\right) ^{n-j}t^{j}P_{i+j}\quad t\in[0,1]
Pin=j=0∑nCnj(1−t)n−jtjPi+jt∈[0,1]
假设
n
⩽
k
n\leqslant k
n⩽k时如下等式成立
P
i
k
=
∑
j
=
0
k
C
k
j
(
1
−
t
)
k
−
j
t
j
P
i
+
j
P_{i}^{k}=\sum ^{k}_{j=0}C_{k}^{j}\left( 1-t\right) ^{k-j}t^{j}P_{i+j}
Pik=j=0∑kCkj(1−t)k−jtjPi+j
当
n
=
k
+
1
n=k+1
n=k+1时，
P
i
k
+
1
=
(
1
−
t
)
P
i
k
+
t
P
i
+
1
k
.
=
(
1
−
t
)
∑
j
=
0
k
C
k
j
(
1
−
t
)
k
−
j
t
j
P
i
+
j
+
t
∑
j
=
0
k
C
k
j
(
1
−
t
)
k
−
j
t
j
P
i
+
j
+
1
=
∑
j
=
0
k
C
k
j
(
1
−
t
)
k
−
j
+
1
t
j
P
i
+
j
+
∑
j
=
1
k
+
1
C
k
j
−
1
(
1
−
t
)
k
−
j
+
1
t
j
P
i
+
j
=
(
1
−
t
)
k
+
1
+
[
∑
j
=
1
k
(
C
k
j
+
C
k
j
−
1
)
(
1
−
t
)
k
−
j
+
1
t
j
P
i
+
j
]
+
C
k
k
t
k
+
1
\begin{aligned} P_{i}^{k+1}&=\left( 1-t\right) P_{i}^{k}+tP_{i+1}^{k}.\\ &=\left( 1-t\right) \sum ^{k}_{j=0}C_{k}^{j}\left( 1-t\right) ^{k-j}t^{j}P_{i+j}+t\sum ^{k}_{j=0}C_{k}^{j}\left( 1-t\right) ^{k-j}t^{j}P_{i+j+1}\\ &=\sum ^{k}_{j=0}C_{k}^{j}\left( 1-t\right) ^{k-j+1}t^{j}P_{i+j}+\sum ^{k+1}_{j=1}C_{k}^{j-1}\left( 1-t\right) ^{k-j+1}t^{j}P_{i+j} \\ &=\left( 1-t\right) ^{k+1}+\left[ \sum ^{k}_{j=1}\left( C_{k}^{j}+C_{k}^{j-1}\right) \left( 1-t\right) ^{k-j+1}t^{j}P_{i+j}\right] +C_{k}^{k}t^{k+1} \end{aligned}
Pik+1=(1−t)Pik+tPi+1k.=(1−t)j=0∑kCkj(1−t)k−jtjPi+j+tj=0∑kCkj(1−t)k−jtjPi+j+1=j=0∑kCkj(1−t)k−j+1tjPi+j+j=1∑k+1Ckj−1(1−t)k−j+1tjPi+j=(1−t)k+1+[j=1∑k(Ckj+Ckj−1)(1−t)k−j+1tjPi+j]+Ckktk+1
因为
C
k
+
1
j
=
(
k
+
1
)
!
(
k
+
1
−
j
)
!
j
!
C
k
j
=
k
!
(
k
−
j
)
!
j
!
C
k
j
−
1
=
k
!
(
k
−
j
+
1
)
!
(
j
−
1
)
!
C
k
j
+
C
k
j
−
1
=
k
!
(
k
−
j
)
!
(
j
−
1
)
!
(
1
j
+
1
k
−
j
+
1
)
=
k
!
⋅
(
k
+
1
)
[
(
k
−
j
)
!
⋅
(
k
−
j
+
1
)
]
⋅
[
(
j
−
1
)
!
⋅
j
]
=
(
k
+
1
)
!
(
k
+
1
−
j
)
!
j
!
=
C
k
+
1
j
\begin{aligned} C_{k+1}^{j}&=\dfrac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-j\right) !j!}\\ C_{k}^{j}&=\dfrac{k!}{\left( k-j\right) !j!} \\ C_{k}^{j-1}&=\dfrac{k!}{\left( k-j+1\right) !\left( j-1\right) !} \\ C_{k}^{j}+C_{k}^{j-1}&=\dfrac{k!}{\left( k-j\right) !\left( j-1\right) !}\left( \dfrac{1}{j}+\dfrac{1}{k-j+1}\right) \\ &=\dfrac{k!\cdot \left( k+1\right) }{\left[ \left( k-j\right) !\cdot \left( k-j+1\right) \right] \cdot \left[ \left( j-1\right) !\cdot j\right] }\\ &=\dfrac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-j\right) !j!}=C_{k+1}^{j} \end{aligned}
Ck+1jCkjCkj−1Ckj+Ckj−1=(k+1−j)!j!(k+1)!=(k−j)!j!k!=(k−j+1)!(j−1)!k!=(k−j)!(j−1)!k!(j1+k−j+11)=[(k−j)!⋅(k−j+1)]⋅[(j−1)!⋅j]k!⋅(k+1)=(k+1−j)!j!(k+1)!=Ck+1j
所以
P
i
k
+
1
=
∑
j
=
0
k
+
1
C
k
+
1
j
(
1
−
t
)
k
−
j
+
1
t
j
P
i
+
j
P_{i}^{k+1}=\sum ^{k+1}_{j=0} C_{k+1}^{j} \left( 1-t\right) ^{k-j+1}t^{j}P_{i+j}
Pik+1=j=0∑k+1Ck+1j(1−t)k−j+1tjPi+j
贝塞尔曲线的性质：
- 各项系数之和为1
∑ j = 0 n C n j ( 1 − t ) n − j t j = ( 1 − t + t ) n = 1 \sum ^{n}_{j=0}C_{n}^{j}\left( 1-t\right) ^{n-j}t^{j}=(1-t + t)^n=1 j=0∑nCnj(1−t)n−jtj=(1−t+t)n=1 - 凸包性
由性质1可知贝塞尔曲线是控制点的凸组合，所以贝塞尔曲线始终包含在所有控制点组成的最小凸多边形中。也就是可以通过控制点的凸包来限制规划曲线的范围，这在路径规划中是很好的一条性质。 - 端点性质
第一个控制点和最后一个控制点，恰好是曲线的起始点和终止点。可以将 t = 1 t=1 t=1或 0 0 0代入，除了起始点和终止点的其他控制点的系数都是0。 - 一阶导数性质：贝塞尔曲线在
t
=
0
t=0
t=0时的导数与
P
i
P
i
+
1
P_iP_{i+1}
PiPi+1方向相同，在
t
=
1
t=1
t=1时的导数与
P
i
+
n
−
1
P
i
+
n
P_{i+n-1}P_{i+n}
Pi+n−1Pi+n方向相同
d P i n d t = d ( 1 − t ) n d t P i + ∑ j = 1 n − 1 C n j P i + j [ ( 1 − t ) n − j d t j d t + d ( 1 − t ) n − j d t t j ] + d t n d t P n = − n ( 1 − t ) n − 1 P i + n t n − 1 P i + n + ∑ j = 1 n − 1 C n j P i + j [ j ( 1 − t ) n − j t j − 1 − ( n − j ) ( 1 − t ) n − j − 1 t j ] \begin{aligned} \dfrac{{\rm d}P_{i}^{n}}{{\rm d}t}&=\dfrac{{\rm d}\left( 1-t\right) ^{n}}{{\rm d}t}P_{i}+\sum^{n-1}_{j=1}C_{n}^{j}P_{i+j}\left[ \left( 1-t\right) ^{n-j}\dfrac{{\rm d}t^{j}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}\left( 1-t\right) ^{n-j}}{{\rm d}t}t^{j}\right] +\dfrac{{\rm d}t^{n}}{{\rm d}t}P_{n}\\ &=-n\left( 1-t\right) ^{n-1}P_{i}+nt^{n-1}P_{i+n}+\sum ^{n-1}_{j=1}C_{n}^{j}P_{i+j}\left[ j\left( 1-t\right) ^{n-j}t^{j-1}-\left( n-j\right) \left( 1-t\right) ^{n-j-1}t^{j}\right] \end{aligned} dtdPin=dtd(1−t)nPi+j=1∑n−1CnjPi+j[(1−t)n−jdtdtj+dtd(1−t)n−jtj]+dtdtnPn=−n(1−t)n−1Pi+ntn−1Pi+n+j=1∑n−1CnjPi+j[j(1−t)n−jtj−1−(n−j)(1−t)n−j−1tj]
d P i n d t ∣ t = 0 = − n P i + C n 1 P i + 1 = n ( P i + 1 − P i ) d P i n d t ∣ t = 1 = n P i + n − C n n − 1 P i + n − 1 = n ( P i + n − P i + n − 1 ) \begin{aligned} \dfrac{{\rm d}P_{i}^{n}}{{\rm d}t}| _{t=0}&=-nP_{i}+C_{n}^{1}P_{i+1}=n\left( P_{i+1}-P_{i}\right) \\ \dfrac{dP_i^{n}}{dt}| _{t=1}&=nP_{i+n}-C_{n}^{n-1}P_{i+n-1}=n\left( P_{i+n}-P_{i+n-1}\right) \end{aligned} dtdPin∣t=0dtdPin∣t=1=−nPi+Cn1Pi+1=n(Pi+1−Pi)=nPi+n−Cnn−1Pi+n−1=n(Pi+n−Pi+n−1)
分段贝塞尔曲线
虽然贝塞尔曲线的阶数可以很高，但是如果曲线的阶数过高，调整控制点对曲线的影响就比较小，调整起来相当麻烦。
于是，我们常常使用分段的贝塞尔曲线，保证每一小段不会太复杂。这样每次只用调小段，还可以做到只调局部不影响大局，那就相当舒服了。
分段带来的唯一问题是，曲线在段与段的交界处，如何保证平滑？
所谓平滑，其实就是一阶导数连续，也就是左右导数的极限相同。
对两侧的贝塞尔曲线求导，分别代入 t=0 和 t=1 （即贝塞尔曲线的开始和结束时间），让二者相等。此时能发现，当两侧控制点与分段交接点共线且形成的线段长度相等时，满足曲线平滑性质。
参考资料
B样条曲线
样条是通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带。 简单地说，B 样条曲线就是通过控制点局部控制形状的曲线。不太理解的同学可以通过本文底部的 demo 查看 B 样条曲线中，控制点对曲线绘制的影响。
贝塞尔曲线有以下缺陷：
- 确定了多边形的顶点数(n+1个)，也就决定了所定义的Bezier曲线的阶次(n次)，这样很不灵活。
- 当顶点数(n+1)较大时，曲线的次数较高，曲线的导数次数也会较高，因此曲线会出现较多的峰谷值。
- 贝塞尔曲线无法局部修改。
B样条曲线除了保持Bezier曲线所具有的优点外，还弥补了上述所有的缺陷。
