【王道数据结构】第五章(下) | 树

【王道数据结构】第五章(下) | 树 | 二叉树

news2025/1/16 2:51:28

一、树的存储结构

1、双亲表示法(顺序存储)：

2、孩子表示法(顺序+链式)

3、孩子兄弟表示法(链式存储）

二、树、森林的遍历

1、树的先根遍历

2、树的后根遍历

3、层序遍历（队列实现）

4、森林的遍历

三、二叉排序树

1、二叉排序树定义

2、二叉排序树的操作

四、平衡二叉树

编辑1、平衡二叉树定义

2、平衡二叉树的插入

五、哈夫曼树

1、哈夫曼树定义

2、哈夫曼树的构造（重点）

3、哈杜曼编码（重点）

一、树的存储结构

1、双亲表示法(顺序存储)：

每个结点中保存指向双亲的指针

//数据域：存放结点本身信息。
//双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中的位置。
#define MAX_TREE_SIZE 100  //树中最多结点数

typedef struct{      //树的结点定义
   ElemType data; 
   int parent;      //双亲位置域
}PTNode;

typedef struct{                   //树的类型定义
   PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   //双亲表示
   int n;                         //结点数
}PTree;

增：新增数据元素，无需按逻辑上的次序存储；（需要更改结点数n）
删：（叶子结点）：

① 将伪指针域设置为-1；
②用后面的数据填补；（需要更改结点数n）

查询：

①优点-查指定结点的双亲很方便；
②缺点-查指定结点的孩子只能从头遍历，空数据导致遍历更慢；

优点: 查指定结点的双亲很方便
缺点:查指定结点的孩子只能从头遍历

2、孩子表示法(顺序+链式)

孩子表示法:顺序存储各个节点，每个结点中保存孩子链表头指针。

struct CTNode{
   int child;    //孩子结点在数组中的位置
   struct CTNode *next;    // 下一个孩子
};

typedef struct{
   ElemType data;
   struct CTNode *firstChild;    // 第一个孩子
}CTBox;

typedef struct{
   CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
   int n, r;   // 结点数和根的位置
}CTree;

3、孩子兄弟表示法(链式存储）

typedef struct CSNode{
   ElemType data;                               //数据域
   struct CSNode *firstchild, *nextsibling;     //第一个孩子和右兄弟指针, *firstchild 看作左指针，*nextsibling看作右指针
}CSNode. *CSTree;

二、树、森林的遍历

1、树的先根遍历

若树非空，先访问根结点，再依次对每棵子树进行先根遍历；（与对应二叉树的先序遍历序列相同）

void PreOrder(TreeNode *R){
   if(R!=NULL){
      visit(R);    //访问根节点
      while(R还有下一个子树T)
         PreOrder(T);      //先跟遍历下一个子树
   }
}

2、树的后根遍历

若树非空，先依次对每棵子树进行后根遍历，最后再返回根节点；（与对应二叉树的中序遍历序列相同）

void PostOrder(TreeNode *R){
   if(R!=NULL){
      while(R还有下一个子树T)
         PostOrder(T);      //后跟遍历下一个子树
      visit(R);    //访问根节点
   }
}

3、层序遍历（队列实现）

若树非空，则根结点入队；
若队列非空，队头元素出队并访问，同时将该元素的孩子依次入队；
重复以上操作直至队尾为空；

4、森林的遍历

先序遍历：等同于依次对各个树进行先根遍历；也可以先转换成与之对应的二叉树，对二叉树进行先序遍历；
中序遍历：等同于依次对各个树进行后根遍历；也可以先转换成与之对应的二叉树，对二叉树进行中序遍历；

三、二叉排序树

1、二叉排序树定义

二又排序树，又称二叉查找树(BST，Binary Search Tree)棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树:

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字;
右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字。
左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。
左子树结点值< 根结点值< 右子树结点值。
进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列。

2、二叉排序树的操作

【二叉排序树的查找】

若树非空，目标值与根结点的值比较:
若相等，则查找成功;
若小于根结点，则在左子树上查找，
否则在右子树上查找。
查找成功，返回结点指针;查找失败返回NULL

typedef struct BSTNode{
   int key;
   struct BSTNode *lchild, *rchild;
}BSTNode, *BSTree;

//在二叉排序树中查找值为key的结点（非递归）
//最坏空间复杂度：O(1)
BSTNode *BST_Search(BSTree T, int key){
   while(T!=NULL && key!=T->key){        //若树空或等于跟结点值，则结束循环
      if(key<T->key)       //值小于根结点值，在左子树上查找
         T = T->lchild;
      else                  //值大于根结点值，在右子树上查找
         T = T->rchild;
   }
   return T;
}

//在二叉排序树中查找值为key的结点（递归）
//最坏空间复杂度：O(h)
BSTNode *BSTSearch(BSTree T, int key){
   if(T == NULL)
      return NULL;
   if(Kry == T->key)
      return T;
   else if(key < T->key)
      return BSTSearch(T->lchild, key);
   else 
      return BSTSearch(T->rchild, key);
}

【二叉排序树的插入操作】

若原二叉排序树为空，则直接插入结点;否则，
若关键字k小于根结点值，则插入到左子树，
若关键字k大于根结点值，则插入到右子树

//在二叉排序树中插入关键字为k的新结点（递归）
//最坏空间复杂度：O(h)
int BST_Insert(BSTree &T, int k){
   if(T==NULL){           //原树为空，新插入的结点为根结点
      T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
      T->key = k;
      T->lchild = T->rchild = NULL;
      return 1;                       //插入成功
   }
   else if(K == T->key)               //树中存在相同关键字的结点，插入失败
      return 0;
   else if(k < T->key)                 
      return BST_Insert(T->lchild,k);
   else 
      return BST_Insert(T->rchild,k);
}

【二叉排序树的构造】

//按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树
void Crear_BST(BSTree &T, int str[], int n){
   T = NULL;                     //初始时T为空树
   int i=0;
   while(i<n){
      BST_Insert(T,str[i]);     //依次将每个关键字插入到二叉排序树中
      i++;
   }
}

【二叉排序树的删除】

先搜索找到目标结点:

若被删除结点z是叶结点则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质
若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，替代z的位置
若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继 (或直接前驱) 替代z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继(或直接前驱)，这样就转换成了第一或第二种情况。

查找长度--在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度，反映了查找操作时间复杂度

四、平衡二叉树

1、平衡二叉树定义

平衡二叉树(Balanced Binary Tree)，简称平衡树(AVL树)--上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。

//平衡二叉树结点
typedef struct AVLNode{
   int key;         //数据域
   int balance;     //平衡因子
   struct AVLNode *lchild; *rchild; 
}AVLNode, *AVLTree;

2、平衡二叉树的插入

每次调整的对象都是“最小不平衡子树“
在插入操作中，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡。

五、哈夫曼树

1、哈夫曼树定义

结点的权:有某种现实含义的数值(如:表示结点的重要性等)
结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积。
树的带权路径长度:树中所有叶结点的带权路径长度之和 (WPL,Weighted Path Length)。
哈夫曼树的定义：在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL) 最小的二叉树，也称最优二叉树。

2、哈夫曼树的构造（重点）

给定n个权值分别为w1, W2,..., w,的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:

1.将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。
2.构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3.从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中
4.重复步骤2和3，直至F中只剩下一棵树为止。

每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大
哈夫曼树的结点总数为2n - 1
哈夫曼树中不存在度为1的结点。
哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优

3、哈杜曼编码（重点）

固定长度编码：每个字符用相等长度的二进制位表示
可变长度编码：允许对不同字符用不等长的二进制位表示
若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码

曼树得到哈夫曼编码--字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树。

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