1. 介绍

顶帽变换和底帽变换就是图像的加减和开闭运算的结合

顶帽变换的公式为：原图 - 原图的开运算

$T_{hat}(f) = f - (f\circ b)$

这里结合开运算的几何图形解释来介绍顶帽变换。
因为开运算是结构元从下往上推动的过程，所以会删除图像灰度值相对周围高的亮点，而其他的区域影响是不大的。那么原图 - 原图的开运算的话，就是保留灰度值较高的亮点，顶帽运算相当于把开运算删除的亮点补回来了。
并且，可以发现，open运算的图像灰度值均 <= 原图，所以是原图 - open运算的图像

底帽变换的公式为：图像闭运算 - 原图

$B_{hat}(f) = (f\bullet b) - b$

这里结合闭运算的几何图形解释来介绍底帽变换。
因为闭运算是结构元从上往下推动的过程，所以会删除图像灰度值相对周围低的暗点，而其他的区域影响是不大的。那么原图的闭运算 - 原图的话，就是保留灰度值较低的暗点，底帽变换相当于把闭运算删除的暗点补回来了。
并且，可以发现，close运算的图像灰度值均 >= 原图，所以是close运算的图像 - 原图

由此可以得出结论

顶帽变换（白顶帽变换）：是保留图像中的相对周围灰度值较高的亮点，并且结构元的size越大，保留亮点的数目越多，因为相对周围灰度值较高的那个 ''相对的程度'' 被改变了（比如原来5相对1就是高，那么567往上都被保存。现在变成3相对1就是高，那么345往上都会被保留）

底帽变换（黑底帽变换）：是保留图像中的相对周围灰度值较低的暗点，并且结构元的size越大，保留暗点的数目越多

2. 代码实现

变换的代码为：

import numpy as np
import cv2


def noise(img):             # 添加椒盐噪声
    for i in range(2000):
        x = np.random.randint(0,img.shape[0])
        y = np.random.randint(0,img.shape[1])
        img[x][y] = np.random.randint(0,2) * 255    # 随机产生0 255 椒盐噪声
    return img.astype(np.uint8)


img = cv2.imread('./flower.jpg',0)
img_noise = noise(img.copy())                 # 产生噪声图像

kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_CROSS,(3,3))

dst_tophat = cv2.morphologyEx(img_noise,cv2.MORPH_TOPHAT,kernel)      # 顶帽变换
dst_blackhat = cv2.morphologyEx(img_noise,cv2.MORPH_BLACKHAT,kernel)  # 底帽变换

cv2.imshow('img',np.hstack((img,img_noise,dst_tophat,dst_blackhat)))  # show
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

图像处理的结果：

图像顺序：原图、加了椒盐噪声的图像、顶帽变换、底帽变换