考研 | 组成原理【第二章】数据的表示和运算

I. 数制与编码

a. 进位计数制及其相互转换

1. 整数部份十进制转二进制: 留意高低位排序
   
2. 小数部分十进制转二进制: 留意高地位排序

b. BCD码

BCD码: 就是 Binary-Coded Decimal， 即二进制编码的十进制数

1. 8421码

8421码: 就是对于 0～9 每个数字用 4 位二进制数来进行一一表示；其中 8421 码也叫有权码，从左往右数，第一个 1 权值为 8 ；第二个 1 权值为 4；第三个 1 权值为 2；第四个 1 权值为 1；

十进制	5	+	8	=	1	3
二进制	0101	+	1000	=	0001	0011

2. 余3码

余3码: 属于无权码，它是在 8421码 的基础上，每位加$(3{)}_{10}$，即二进制 $(0011{)}_2$

3. 2421码

2421码: 同 8421码，都属于有权码，但是与 8421码 不同，从右往左数，每个 1 的权值分别为 2421

 

c. 无符号整数表示和运算

1. 表示

1. 全部二进制位都是数值位, 没有符号位, 第 $i$ 位的位权是 $2^{i-1}$
2. $n$ bit无符号整数表示范围 $0\sim 2^n-1$, 超出则溢出
3. 最小数是全 0; 最大数是全 1

2. 运算

1. 加法: 从 最低位 开始, 按位相加, 并往更高位进位
2. 减法:
   1. “被减数” 不变, “减数” 全部位按位取反, 末位+1(即变补码), 减法变加法
   2. 从 最低位 开始, 按位相加, 并往 更高位 进位.
       

d. 带符号整数的表示和运算

1. 原码

对于 $n+1$ 位机器字长:

1. 最高位为符号位, “0/1” 对应 “正负”; 剩余位数为数值位, 表示真值的绝对值
2. 表示范围 $-(2^n-1)\le x\le 2^n-1$
3. 真值 0 有两种形式, $[+0{]}_{原}=0,00000000;[-0{]}_{原}=1,00000000$

缺点: 符号位不能参与运算, 需要设计复杂的硬件电路才能处理

2. 反码

在 原码 的基础上: 正数不变; 负数 符号位不变数值位取反

3. 补码

1. 机器的方式: 原 → 反 → 补 (反码转补码: 正数不变, 负数末位+1)
   

2. 人工手算的方式: 原 → 补
   正数不变; 负数从右往左找到第一个1,这个1左边的所有数值位按位取反;
   补码 转 原码 也是这种方式, 正数不变, 负数从右往左找到第一个 1, 这个 1 左边的所有数值位按位取反
   

3. 这里记录一个我自己总结的直接从负数补码算真值的方法:
   见上图右下角 蓝色部分

   1. 从右往左找到第一个1
   2. 这个 1 左边的所有 0 对应的二进制权值 + 这个 1 对应的二进制权值 = 真值

4. 补码加法: 从最低位开始, 按位相加(包括符号位), 并往更高位进位

   

5. 补码减法:

   1. “被减数” 不变, “减数” 全部按位取反(包括符号位)末位+1
   2. 减法变加法, 从最低位开始, 按位相加, 并往更高位进位

4. 移码

移码: 在补码的基础上, 符号位取反; 注意: 只能表示正数

5. 原反补移码特性对比

1. 转换关系:
   

2. 表示范围:
   

3. 用几种码来表示整数:
   

e. 定点小数的表示和运算

1. 定点小数 v.s. 定点整数

注意: 定点小数第一位是符号位, 即小数点前一位; 定点小数不能用移码表示

2. 定点小数的加法运算

同定点整数加法: 从最低位开始, 按位相加(包括符号位), 并往更高位进位;

3. 定点小数的减法运算

同定点整数减法: "被减数"不变, 全部位按位取反, 末位+1, 减法变加法

---

II. 运算方法和运算电路

a. 基本运算部件

1. 逻辑运算

• 与 | 或 | 非
  

• 与非 | 或非 | 异非 | 同或
  

• 用 与或非 组合实现异或门
  

• 简化逻辑表达式

  • 优先级: 与 > 或
  • 分配律: $A(C+D)=AC+AD$
  • 结合律: $ABC=A(BC)$; $A+B+C=A+(B+C)$
  • 反演律: $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$; $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

2. 一位全加器

一位全加器实现的功能是 一个二进制位 上的加法, 不仅要结合当前两个加数的二进制位, 还要结合从前一个二进制位带上来的 进位.

• 加法结果 $S_i$: 看输入(两个加数的二进制位, 前一位的进位) 中有偶数个 1 还是 奇数个 1
  $S_i=A_i\oplus B_i\oplus C_{i-1}$
• 向高位的进位 $C_i$: 如果输入中至少有两个 1, 进位就是 1
  $C_i=A_i{B}_i+(A_i\oplus B_i)C_{i-1}$
  第一项代表的是 两个加数的二进制位 都是1
  第二项代表两个本位中只有一个 1 , 且来自低位的进位是 1

用逻辑电路图表示:

3. 串行加法器

串行加法器: 只由一个 一位全加器 构成, 两个加数 按位 一个一个二进制位送入 全加器 里面进行运算, 这种就是 串行. 如果操作数长 $n$ 位, 加法器就要进行 $n$ 次运算.

4. 串行进位的并行加法器

串行进位的并行加法器: 把 $n$ 个 全加器 串连起来, 就可以得到两个 $n$ 位二进制数相加的结果

从图中看得出来, 缺点很明显, 由于每一级的输入除了两个加数自身的二进制数以外, 还要包括上一位的进位, 因此每一级的加法都得依赖上一级.

5. 并行进位的并行加法器

并行进位的并行加法器 其实就是在 串行的基础上耍了一些trick. 前面提到, 由于受限于每一级的进位 $C_{i-1}$, 因此我们对 $C_i$ 进行展开:
$$\begin{array}{rl}& C_i=A_i{B}_i+\left(A_i\oplus B_i\right)C_{i-1}\\ & C_i=A_i{B}_i+\left(A_i\oplus B_i\right)\left(A_{i-1}{B}_{i-1}+\left(A_{i-1}\oplus B_{i-1}\right)C_{i-2}\right)\\ & C_i=A_i{B}_i+\left(A_i\oplus B_i\right)\left(A_{i-1}{B}_{i-1}+\left(A_{i-1}\oplus B_{i-1}\right)\left(A_{i-2}{B}_{i-2}+\left(A_{i-2}\oplus B_{i-2}\right)C_{i-3}\right)\right)\end{array}$$
当展开到 $C_0$ 的时候, 整体的 $C_i$ 就可以直接确定, 因为每一位的 $A_i$ $B_i$ 都已经, $C_i$ 也已知, 那么就可以直接算得任意一步的进位 $C_i$
我们再让 $G_i=A_i{B}_i$  $P_i=A_i\oplus B_i$
C i = A i B i + ( A i ⊕ B i ) C i − 1 = G i + P i C i − 1 C 1 = G 1 + P 1 C 0 C 2 = G 2 + P 2 C 1 = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 C 0 C 3 = G 3 + P 3 C 2 = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 C 0 C 4 = G 4 + P 4 C 3 = G 4 + P 4 G 3 + P 4 P 3 G 2 + P 4 P 3 P 2 G 1 + P 4 P 3 P 2 P 1 C 0 \begin{aligned} &C_{i}=A_{i} B_{i}+\left(A_{i} \oplus B_{i}\right) C_{i-1}=G_{i}+P_{i} C_{i-1} \\ &C_{1}=G_{1}+P_{1} C_{0} \\ &C_{2}=G_{2}+P_{2} C_{1}=G_{2}+P_{2} G_{1}+P_{2} P_{1} C_{0} \\ &C_{3}=G_{3}+P_{3} C_{2}=G_{3}+P_{3} G_{2}+P_{3} P_{2} G_{1}+P_{3} P_{2} P_{1} C_{0} \\ &C_{4}=G_{4}+P_{4} C_{3}=G_{4}+P_{4} G_{3}+P_{4} P_{3} G_{2}+P_{4} P_{3} P_{2} G_{1}+P_{4} P_{3} P_{2} P_{1} C_{0} \end{aligned} ​Ci​=Ai​Bi​+(Ai​⊕Bi​)Ci−1​=Gi​+Pi​Ci−1​C1​=G1​+P1​C0​C2​=G2​+P2​C1​=G2​+P2​G1​+P2​P1​C0​C3​=G3​+P3​C2​=G3​+P3​G2​+P3​P2​G1​+P3​P2​P1​C0​C4​=G4​+P4​C3​=G4​+P4​G3​+P4​P3​G2​+P4​P3​P2​G1​+P4​P3​P2​P1​C0​​
画成电路图:

6. 补码加减法器

1. XY分别对应两个加数或者被减数和减数
2. 设置 $sub$, 如果是减法就设置为 1, 如果是加法设置为 0
3. 当 $sub$ 为0, 即加法的时候, Y 直接通过 多路选择器 进入加法器
4. 当 $sub$ 为1:
   1. Y 会先经过 非门, 对Y上的所有位进行按位取反
   2. 同时, $sub$ 作为 1, 也会作为 $C_{i-1}$ 传进加法器中
   3. 对 Y 所有位按位取反再 +1, 即可完成 X-Y 到 X+(-Y) 的操作
      

7. 标志位生成

 

b. 定点数的移位运算

1. 算数移位

2. 逻辑移位

• 逻辑右移: 高位补0, 低位舍弃
• 逻辑左移: 低位补0, 高位舍弃

3. 循环移位

c. 定点小数的乘法运算

1. 原码乘法运算

• 符号位单独处理, 符号位 $=x_s\oplus y_s$
• 数值位取绝对值进行乘法运算:

1. 先回顾几个运算器的构件:
   
2. 我们现在要计算: $[x{]}_{原}=1.1101,[y{]}_{原}=0.1011,x\cdot y$
3. 先将被乘数, 即 x, 符号位变成 0, 取绝对值, 放进 通用寄存器 $X$ 中
   乘数, 即 y, 符号位也同样取 0, 取绝对值, 放进 乘商寄存器 $MQ$ 中
   累加器 $ACC$ 全置 0;
   
4. 从右往左看 乘商寄存器$MQ$, 第一个是 $1$
   那么我们就往 累加器$ACC$ 里加上 通用寄存器$X$ 里的 被乘数 $X$
   然后 累加器$ACC$ 和 乘商寄存器$MQ$ 一起 逻辑右移: 高位补$0$, 低位舍弃
5. 然后重复第四步, 还是 $1$, 于是我们对 累加器$ACC$ 先加 通用寄存器$X$ 里的被乘数, 然后 $ACC$ 和 $MQ$ 一起逻辑右移:
6. 继续重复第四步, 但是这一次是 $0$, 如果遇到 $0$, 累加器$ACC$ 就什么都不加, 直接和 乘商寄存器$MQ$ 逻辑右移
7. 一直重复第四步, 直到原本放 乘数 的 乘商寄存器$MQ$ 里的符号位移到最后一个位, 就可以停止了
   这个时候, 还需要把 累加器$ACC$ 的第一位, 即符号位修改为一开始的 符号位 $=x_s\oplus y_s$
   然后 累加器$ACC$ 和 乘商寄存器$MQ$ 组合起来的数字就是最终乘积的结果
   
8. 将上述过程简化成手算过程就是这样:
   

2. 补码乘法运算

• 补码乘法 和 原码乘法 类似, 但也有不同:
  
• 在 补码乘法 的运算中:
  • 所有寄存器的机器字长统一 $n+2$ 位, 采用双符号位表示补码.
  • 乘商寄存器 $MQ$ 中, 用 单符号位表示 乘数 补码, 最后一位 机器位 放辅助位, 初始为0
  • 辅助位 - $MQ$中最低位 = 1, $(ACC)+[x{]}_{补}$
    辅助位 - $MQ$中最低位 = 0, $(ACC)+0$
    辅助位 - $MQ$中最低位 = -1, $(ACC)+[-x{]}_{补}$
  • 加法结束后, $ACC$ 和 $MQ$ 一起 算数右移
  • 一直右移到 原来放在乘商寄存器$MQ$的乘数的符号位 后, 还得继续进行一次加法
  • 最后 累加器$ACC$ 和 乘商寄存器$MQ$ 共同构成最后的乘积(带符号位)
    

d. 定点小数的除法运算

1. 原码除法运算

1-1. 恢复余数法

• 通用寄存器$X$ 存放 除数
  累加器$ACC$ 存放 被除数
  乘商寄存器$MQ$ 存放 结果商
• 符号位单独处理 $x_s\oplus y_s$
• 将对应 除数, 被除数 放入 通用寄存器$X$, 累加器$ACC$ 中, 乘商寄存器$MQ$置0
  

1. 每轮直接无脑上商$1$
   
2. 求余数: $(ACC)-(除数)\to ACC$
   
3. 发现 $ACC$ 中, 余数为负数, 商改为 $0$
   
4. 商改为 $0$ 后, $ACC$ 也应该改回来, 所以 $(ACC)+(除数)\to ACC$, 这一步就叫 恢复余数
   
5. 然后 $ACC$ 和 $MQ$ 总体 逻辑左移
   
6. 重复 1~5 步, 直至 乘商寄存器$MQ$ 中所有机器位的都有确定的商
   
   
   
   
   
   
   
   
   
7. 最后得到结果
   
8. 总结: 看流程图
   

1-2. 加减交替法(不恢复余数法)

• 核心思想:
  
• 总体流程:
  
  

2. 补码除法运算

• 精髓:
  
• 有一道经典的题:
  
  • 这道题如果不深究, 可以直接选 $B$, 应为补码的乘除法, 重点的一步就是 符号位 参与运算
  • 如果深究的话:
    • 什么叫够减: 被减数的 绝对值 大于 减数 绝对值
    • 同号相除:

      求余数	够减	商	不够减	商
      减法	除数和余数同号	1	除数和余数异号	0

    • 异号相处:

      求余数	够减	商	不够减	商
      加法	除数和余数异号	0	除数和余数同号	1

    • 如: 被除数 -3, 除数 -2 和 +2, 够减
      • $-3与-2同号\Rightarrow -3-(-2)=-1\Rightarrow 余数和除数同号\Rightarrow 商1$
      • $-3与+2异号\Rightarrow -3+(+2)=-1\Rightarrow 余数和除数异号\Rightarrow 商0$

e. C语言中的证书类型及类型转换

f. 数据的存储和排列

---

III. 浮点数的表示与运算

a. 浮点数的表示

b. 浮点数的加减运算