数据结构--并查集-高效处理连通性问题

一、理论基础

（1）并查集的功能及实现原理

（2）代码模版

（3）模拟过程

（4）应用

二、基础题练习

（1）寻找存在的路径（模版题）

（2）排座位

（3）部落

（4）红色警报

（5）冗余连接

一、理论基础

（1）并查集的功能及实现原理

首先要知道并查集可以解决什么问题呢？

当我们需要判断两个元素是否在同一个集合里的时候，我们就要想到用并查集。

并查集主要有两个功能：

将两个元素添加到一个集合中。
判断两个元素在不在同一个集合

如何将两个元素添加到一个集合中？

将三个元素A，B，C （分别是数字）放在同一个集合，其实就是将三个元素连通在一起，如何连通呢。

只需要用一个一维数组来表示，即：father[A] = B，father[B] = C 这样就表述 A 与 B 与 C连通了（有向连通图）。
// 将v，u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}
find函数是如何实现的呢？其实就是通过数组下标找到数组元素，一层一层寻根过程，代码如下：
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
    if (u == father[u]) return u; // 如果根就是自己，直接返回
    else return find(father[u]); // 如果根不是自己，就根据数组下标一层一层向下找
}
路径压缩：
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
    if (u == father[u]) return u;
    else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}
默认自己指向自己，所以
// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;
    }
}

如何判断两个元素是否在同一个集合里？

如果通过 find函数找到两个元素属于同一个根的话，那么这两个元素就是同一个集合，代码如下：
// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

（2）代码模版

int n = 1005; // n根据题目中节点数量而定，一般比节点数量大一点就好
vector<int> father = vector<int> (n, 0); // C++里的一种数组结构

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;
    }
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
    if (u == father[u]) return u;
    else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}

// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}

通过模板，我们可以知道，并查集主要有三个功能。

寻找根节点，函数：find(int u)，也就是判断这个节点的祖先节点是哪个
将两个节点接入到同一个集合，函数：join(int u, int v)，将两个节点连在同一个根节点上
判断两个节点是否在同一个集合，函数：isSame(int u, int v)，就是判断两个节点是不是同一个根节点

（3）模拟过程

join(3, 8) 在图中为什么将元素1 连向元素 3 而不是将元素 8 连向元素 3 呢？

因为在join(int u, int v)函数里要分别对 u 和 v 寻根之后再进行关联。

为什么图中 8 又直接指向了 3 了呢？

代码在寻找根的过程中，会有路径压缩的优化 ，减少下次查询的路径长度。

这里为什么是 2 指向了 6，因为 9的根为 2，所以用2指向6。

（4）应用

连通性问题（图论）：判断两点是否在同一个连通块、连通块计数

【把图中每条边两端的点用并查集合并，判断某两个点是否在同一个集合里，就等于判断它们是否在同一个连通块中。查询连通性：判断两个点 a 和 b 是否连通，只需看 find(a) == find(b) 是否成立。】

【遍历所有节点，统计父节点为自身的节点数量（即根节点数量），即为连通块个数。if (fa[s] == s) landcount++;】

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