如果想看运动学标定可以看看 机器人运动学参数标定, 一次性把运动学参数和零位标定等一起标定求解.

1. 零位标定

零位标定是机器人运动学标定中的一个重要步骤，其目的是校正机器人关节的初始位置误差。以下是需要进行零位标定的主要原因：

• 制造误差

  • 在机器人制造过程中，关节传感器（如编码器）和机械零件的安装可能存在微小的偏差。
  • 这些偏差会导致关节的零位（初始位置）与理论值不一致，从而影响运动学计算的准确性。

• 装配误差

  • 机器人在组装过程中，关节和连杆之间的对齐可能存在误差。
  • 这些误差会导致正运动学和逆运动学计算的结果与实际位置不符。

• 传感器误差

  • 编码器或其他位置传感器可能存在零点漂移或校准误差。
  • 零位标定可以校正这些传感器的初始偏差。

• 提高运动精度

  • 零位偏差会累积到机器人运动的末端位置，导致末端执行器无法准确到达目标位置。
  • 通过零位标定，可以显著提高机器人末端的定位精度。

• 确保一致性

  • 在多次启动或不同环境下，零位可能会发生轻微变化。
  • 零位标定可以确保机器人在不同时间和环境下的运动一致性。

• 运动学模型的准确性

  • 机器人控制依赖于精确的运动学模型（正运动学和逆运动学）。
  • 零位标定是运动学模型校正的重要部分，确保理论模型与实际机器人一致。

• 避免累积误差

  • 零位偏差会导致关节角度的计算误差，这些误差在多关节运动中会累积，影响整体运动精度。
  • 零位标定可以有效减少这种累积误差。

2. 零位标定思路

假设有一个针尖基准点，令机器人末端对准针尖基准点，则实际末端位置可以表示为：

$${\overrightarrow{p}}^{real}={\overrightarrow{p}}^{fk}+J\cdot \overrightarrow{\varphi }$$

其中：

• ${\overrightarrow{p}}^{real}$ 是实际末端位置。
• ${\overrightarrow{p}}^{fk}$ 是通过正运动学计算得到的理论末端位置。
• $J$ 是雅可比矩阵，表示关节角度对末端位置的偏导数。
• $\overrightarrow{\varphi }$ 是零位偏差向量。

通过改变机器人姿态，记录两组不同的末端位置和关节角度，得到以下关系：

$${\overrightarrow{p}}_1^{fk}+J_1\cdot \overrightarrow{\varphi }={\overrightarrow{p}}_2^{fk}+J_2\cdot \overrightarrow{\varphi }$$

目标是求解零位偏差 $\overrightarrow{\varphi }$，使上述等式成立。

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3. 零位偏差计算方法及算法流程

3.1 数据采集

• 选取多个测量点（例如 $n$ 个）。
• 记录每个测量点的关节角度和实际末端位置。
  

3.2 误差模型

对于每个测量点，误差可以表示为：

$$\Delta {\overrightarrow{p}}_i={\overrightarrow{p}}_i^{real}-{\overrightarrow{p}}_i^{fk}=J_i\cdot \overrightarrow{\varphi }$$

将所有测量点的误差组合成矩阵形式：

$$Y=B\cdot \overrightarrow{\varphi }$$

其中：

• $Y$ 是误差向量，$Y=[\Delta {\overrightarrow{p}}_1,\Delta {\overrightarrow{p}}_2,\dots ,\Delta {\overrightarrow{p}}_n{]}^T$。
• $B$ 是雅可比矩阵的组合，$B=[J_1,J_2,\dots ,J_n{]}^T$。

3.3 最小二乘法求解

通过最小化误差的平方和，求解零位偏差 $\overrightarrow{\varphi }$：

$$\overrightarrow{\varphi }=(B^T\cdot B{)}^{-1}\cdot B^T\cdot Y$$

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4. Python 实现代码

以下是一个简单的 Python 实现：

import numpy as np
np.set_printoptions(5, suppress=True)

# 示例数据：雅可比矩阵 B 和误差向量 Y
B = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])  # 雅可比矩阵 (3x2)
Y = np.array([1, 2, 3])                 # 误差向量 (3x1)

# 计算零位偏差 φ
BT = B.T                                # B 的转置
phi = np.linalg.inv(BT @ B) @ BT @ Y    # 最小二乘法公式

print("零位偏差 φ:", phi)

零位偏差 φ: [0.  0.5]

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5. 注意事项

1. 矩阵维度匹配：确保矩阵 $B$ 的行数与误差向量 $Y$ 的长度一致。
2. 矩阵可逆性：矩阵 $(B^T\cdot B)$ 必须是可逆的。如果不可逆，可以使用伪逆方法：

   phi = np.linalg.pinv(B) @ Y

3. 数据精度：测量数据应尽量精确，以减少误差。

通过上述公式和代码，可以使用最小二乘法计算零位偏差，完成机器人零位标定。

6. 问题

6.1 为什么需要20个点?

在机器人零位标定中，选择多个测量点（例如 20 个点）是为了提高标定的精度和鲁棒性。以下是原因：

• 减少测量误差的影响：

  • 单个点的测量可能存在误差（例如传感器噪声、环境干扰等）。
  • 使用多个点可以通过最小二乘法将误差分散，从而得到更准确的零位偏差。

• 提高解的稳定性：

  • 如果测量点过少，矩阵 $B^T\cdot B$ 可能是奇异的（不可逆），导致无法求解。
  • 增加测量点数量可以确保矩阵 $B^T\cdot B$ 的条件数更好，从而提高解的稳定性。

• 覆盖更多的姿态空间：

  • 通过选择不同的姿态（关节角度组合），可以覆盖更大的工作空间。
  • 这有助于捕捉零位偏差在不同姿态下的影响，避免局部解。

• 减少过拟合风险：

  • 如果测量点过少，可能会导致模型过拟合，无法准确反映实际的零位偏差。
  • 增加点数可以让模型更具泛化能力。

• 满足最小二乘法的要求：

  • 最小二乘法需要测量点的数量大于未知参数的数量（即 $n>m$，其中 $n$ 是测量点数，$m$ 是零位偏差的维度）。
  • 选择 20 个点通常是为了确保足够的数据冗余。

总结来说，选择 20 个点是为了在数据冗余、解的稳定性和精度之间取得平衡，同时确保标定结果的可靠性。