连续的定义

维基百科给出的定义：

连续函数（英语：Continuous function）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

严格的定义是：对于任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta>0$ 当 $|x-x_0|<\delta$ ，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ 那么这个函数就是连续的。

这可以看做是一种彼此之间的对抗，A 说：对于函数 $f (x)$ 在 $x_0$ 处的取值，我给出一个很小的数 $\epsilon$ ， $f(x_0)$ 及其附近很近的点都得在这个 $\epsilon$ 划定的窄带内 $[f(x_0)-\epsilon, f(x_0)+\epsilon]$ 我才判定你这个函数在 $x_0$ 附近是没有突变的。
B 说：行吧，我给你找一个同样很小的数 $\delta$ 我能够证明 $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ 范围内所有的数，他们的 $f (x)$ 都在你划定的窄带 $\epsilon$ 范围之内。
A 说：行，你只要找到这个 $\delta$ 我就认可你。

关于 $\epsilon$ 和 $\delta$ 的解释

这两个都是非常小的值，但是一旦选定某个 $\epsilon$ 之后，你可以认为他是个定值，那么你的任务就是针对这个定值选一个合适的 $\delta$ 来证明你的函数确实是连续的
比如我现在有个函数 $f(x)=x^2$ 我要证明在 $x = 0$ 这一点连续，首先假设我选了个 $\epsilon=0.1$ 那么现在 $[f(x)-\epsilon, f(x)+\epsilon]$ 就是窄带的的范围，就是 $[- 0.1 ， 0.1]$ 。所以你接下来选的 $x_0$ 值都落在 $[x-\delta, x+\delta]$ 之间，并用这些 $x_0$ 对应的 $f(x_0)$ 来证明这些 $f(x_0)$ 全部落在 $\epsilon$ 划定的窄带中，现在如果我选了 $\delta=0.05$ 那么当 $x_0\in [-0.05, 0.05]$ 对应的 $f(x_0)$ 的取值范围是 $[0, 0.0025]$ 而这个范围也确实小于 $\epsilon$ 所划定的 $[- 0.1, 0.1]$ 的窄带内
所以以上例子至少证明了 $f (x)$ 这个函数在 $\epsilon=0.1$ ， $\delta=0.05$ 的情况下是连续的
这里只是给出一个直观的例子来看，为什么要用 $\epsilon, \delta$ 这么一组值来判定函数的连续性

$f(x)=sin(\frac{1}{x})$ 这个函数就是不连续的，如果我们将它在 0-1 的范围内的图画出来，是这个样子：
再进一步，如果我们画出它在 $x = [0, 0.1]$ 范围内的图：
再进一步 $x = [0, 0.0001]$ 范围内的图
你会发现，无论你的 $\delta$ 取多小，他的 $x$ 对应的值都会在这个范围内剧烈震荡，也就是说没有任何一个 $\delta$ 能保证这个 $f (x)$ 收敛到 $[f(x)-\epsilon, f(x)+\epsilon]$
究其原因是 $s i n$ 中包含一个 $\frac{1}{x}$ 而这个 $\frac{1}{x}$ 在越趋近于 $0$ 的位置震动值越大，而且增速越快，这就表示着外面嵌套一个 $s i n$ 之后，就越靠近零整个 $f (x)$ 的值震荡幅度就越大越密集。所以他永远不可能收敛到一个点，因此这个函数在 $x = 0$ 附近是不连续的。
但是他在 $0$ 之后的表现都是连续的