新手村：逻辑回归-理解02：逻辑回归中的伯努利分布

伯努利分布在逻辑回归中的潜在含义及其与后续推导的因果关系

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1. 伯努利分布作为逻辑回归的理论基础

⭐️ 逻辑回归的核心目标是:

建模二分类问题中 目标变量 $y$ 的概率分布。

伯努利分布（Bernoulli Distribution）是逻辑回归的数学基础，因为它直接描述了二元结果（如“成功”或“失败”）的概率特性：

伯努利分布的定义：

随机变量 $y$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布，即：
$$P(y=1)=p,P(y=0)=1-p$$
其中 $p$ 是事件发生的概率，$0<p<1$。

逻辑回归的建模目标：

逻辑回归假设

1. 目标变量 $y$ 服从伯努利分布，
2. 且 $p$（即 $P(y=1|x)$）是输入特征 $x$ 的函数。

因此，逻辑回归需要通过输入特征 $x$ 的线性组合来建模 $p$。

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2. 对数几率(Odds)与线性组合的推导

⭐️ 逻辑回归的核心假设是:
对数几率（Logit）是输入特征的线性组合

⭐️ ⭐️ ⭐️这一假设直接来源于伯努利分布的参数 $p$ 需要被建模为输入特征的函数：

推导

$\because$ ⭐️ 线性模型
$$z=w^{\top }x;$$
$\therefore$ ⭐️ 线性数据通过sigmoid函数转换为概率
$$p=\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-w^{\top }x}}$$

$\therefore$ ⭐️ （Odds）赔率公式

若事件发生的概率为 $ p $，则“发生与不发生的比值”称为（Odds）几率/赔率：

$$Odds=\left(\frac{p}{1-p}\right)=\frac{\sigma (z)}{1-\sigma (z)}=\frac{1}{1+e^{-w^{\top }x}}/\frac{e^{-w^{\top }x}}{1+e^{-w^{\top }x}}=\frac{1}{e^{-w^{\top }x}}=e^{w^{\top }x}$$

$\therefore$ ⭐️（Log Odds）对数几率（赔率）的定义：

这个等式的核心思想是：对数几率是输入特征 $x$ 的线性组合。

$$\text{logit}(p)=\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)=w^{\top }x$$
其中 $w$ 是权重向量，$x$ 是输入特征。

因果关系：

因为伯努利分布的参数 $p$ 需要满足 $0<p<1$，而线性组合 $w^{\top }x$ 的取值范围是 $(-\infty ,+\infty )$，因此需要通过一个可逆的单调函数将线性组合映射到 $(0,1)$ 区间，从而得到 $p$。

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3. Sigmoid函数的引入

Sigmoid函数是这一映射的自然选择，其数学形式为：
$$p=\sigma (w^{\top }x)=\frac{1}{1+\exp (-w^{\top }x)}$$

• 因果关系：
  • ⭐️ Sigmoid函数的输出范围恰好是 $(0,1)$，与伯努利分布的概率 $p$ 的取值范围一致。
  • ⭐️ Sigmoid函数的导数形式（$\sigma (z)(1-\sigma (z))$）, 在后续的梯度计算中简化了优化过程。
  • 在广义线性模型（GLM）框架下，伯努利分布属于指数族分布，其自然参数 $\eta$ 是对数几率 $\log (p/(1-p))$，因此连接函数（link function）选择对数几率，直接导致 Sigmoid 函数的使用。

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4. 交叉熵损失函数的来源

逻辑回归的损失函数选择交叉熵（Cross-Entropy），而非均方误差（MSE），这一选择与伯努利分布的概率结构直接相关：

• ⭐️ 伯努利分布的对数似然函数：
  对于样本 $(x_i,y_i)$，其对数似然为：
  $$\log P(y_i|x_i,w)=y_i\log p_i+(1-y_i)\log (1-p_i)$$
  其中 $p_i=\sigma (w^{\top }{x}_i)$。
  ⭐️ 最大化对数似然等价于最小化交叉熵损失：
  $$\text{Loss}=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[y_i\log p_i+(1-y_i)\log (1-p_i)]$$
• 因果关系：
  由于逻辑回归假设 $y$ 服从伯努利分布，因此损失函数必须与该分布的对数似然函数一致。交叉熵直接来源于伯努利分布的概率表达式，而均方误差则忽略了概率的非线性约束，可能导致梯度问题（如预测值接近0或1时梯度趋近于0，收敛缓慢）。

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5. 广义线性模型（GLM）的框架

逻辑回归是广义线性模型（GLM）的一个特例，其推导过程严格遵循 GLM 的结构：

• GLM 的三个要素：
  1. 随机成分：目标变量 $y$ 服从伯努利分布。
  2. 系统成分：线性预测器 $\eta =w^{\top }x$。
  3. 连接函数：将线性预测器与 $E(y|x)$（即 $p$）联系起来。对于伯努利分布，连接函数选择对数几率函数：
     $$\eta =\log \left(\frac{p}{1-p}\right)\Rightarrow p=\sigma (\eta )$$
• 因果关系：
  GLM 的框架要求连接函数必须与分布的特性匹配。伯努利分布的方差 $\text{Var}(y)=p(1-p)$ 是均值 $p$ 的函数，因此模型无需估计方差，只需通过线性组合建模均值 $p$，从而简化了模型结构。

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6. 参数估计与优化

逻辑回归通过最大似然估计（MLE) 求解参数 $w$，这一过程依赖于伯努利分布的对数似然函数：

• 极大似然估计：
  $$\hat{w}=\arg \underset{w}{\max }\prod _{i=1}^{N}P(y_i|x_i,w)=\arg \underset{w}{\max }\sum _{i=1}^N[y_i\log p_i+(1-y_i)\log (1-p_i)]$$
• 优化方法：
  因为对数似然函数是凸函数（在 $w$ 上），梯度下降或牛顿法可以高效求解全局最优解。这一凸性也源于伯努利分布的对数似然的数学性质。

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总结：伯努利分布的潜在含义与后续推导的因果关系

伯努利分布的作用	导致的后续推导
1. 建模二分类目标变量 $y$ 的概率分布	→ 线性组合的对数几率假设
2. 参数 $p$ 需满足 $0<p<1$	→ 引入 Sigmoid 函数映射到概率空间
3. 对数似然函数的形式	→ 交叉熵作为损失函数的选择
4. 属于指数族分布	→ 在 GLM 框架下自然推导出模型形式
5. 方差与均值的依赖关系	→ 无需估计方差，简化模型参数空间

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关键结论

逻辑回归的整个建模过程（从假设到损失函数设计）本质上是伯努利分布的数学特性驱动的：

• 伯努利分布的二元性：决定了模型需要预测概率 $p$ 而不是直接分类。
• 对数几率的线性假设：通过伯努利分布的对数似然推导出，确保模型的可解释性。
• Sigmoid 函数与交叉熵：直接来源于伯努利分布的概率表达式，保证了数学上的合理性与优化效率。

这一理论框架使得逻辑回归成为二分类问题中简洁、高效且可解释的模型。