蓝桥杯算法精讲：二分查找实战与变种解析

news2025/3/24 12:16:42

适合人群：蓝桥杯备考生 | 算法竞赛入门者 | 二分查找进阶学习者

一、二分查找核心要点

1. 算法思想

2. 适用条件

3. 算法模板

二、蓝桥杯真题实战

例题1：分巧克力（蓝桥杯2017省赛）

例题2：砍竹子（蓝桥杯2022省赛）

三、二分查找变种与技巧

1. 查找左边界

2. 查找右边界

四、常见错误与注意事项

五、蓝桥杯进阶练习题

一、二分查找核心要点

1. 算法思想

二分查找（Binary Search）是一种在有序序列中快速定位目标的算法，通过不断缩小搜索范围，将时间复杂度从O(n)降至O(log n)。

2. 适用条件

有序性：数据必须有序（升序或降序）
单调性：问题的解空间具有单调性（如求最大值最小、最小值最大）

3. 算法模板

def binary_search(arr, target):  
    left, right = 0, len(arr) - 1  # 初始化左右指针  
    while left <= right:  
        mid = left + (right - left) // 2  # 防止整数溢出  
        if arr[mid] == target:  
            return mid  # 找到目标，返回索引  
        elif arr[mid] < target:  
            left = mid + 1  # 目标在右半部分  
        else:  
            right = mid - 1  # 目标在左半部分  
    return -1  # 未找到

二、蓝桥杯真题实战

例题1：分巧克力（蓝桥杯2017省赛）

题目描述：
有N块巧克力，每块大小为H[i]×W[i]。需切割出K块大小相同的正方形，求最大边长。

问题分析：

单调性：边长越大，能切出的块数越少
二分目标：寻找满足块数≥K的最大边长

代码实现：

def max_chocolate_size():  
    N, K = map(int, input().split())  
    H = []  
    W = []  
    for _ in range(N):  
        h, w = map(int, input().split())  
        H.append(h)  
        W.append(w)  

    # 二分范围：最小1，最大巧克力边长上限  
    left, right = 1, max(max(H), max(W))  
    ans = 0  
    while left <= right:  
        mid = (left + right) // 2  
        cnt = 0  # 当前边长能切出的总块数  
        for i in range(N):  
            cnt += (H[i] // mid) * (W[i] // mid)  
            if cnt >= K:  # 提前终止循环  
                break  
        if cnt >= K:  
            ans = mid  # 记录可行解  
            left = mid + 1  # 尝试更大的边长  
        else:  
            right = mid - 1  # 边长过大，缩小范围  
    return ans  

print(max_chocolate_size())

代码解析：

二分初始化：左边界为1，右边界取所有巧克力的最大边长
计算块数：对每块巧克力计算能切出的块数，累加直至超过K
调整边界：根据块数是否满足条件，动态调整左右边界

例题2：砍竹子（蓝桥杯2022省赛）

题目描述：
给定N棵竹子的高度H[i]，每次操作可选择一棵竹子砍到⌊√(H+1)⌋，求所有竹子砍到1的最少操作次数。

问题分析：

逆向思维：从1反向计算每个高度需要多少次操作到达
预处理：对每个H[i]，预计算其所有可能的中间值

代码实现：

import math  

def min_operations():  
    N = int(input())  
    H = list(map(int, input().split()))  
    max_steps = 0  

    # 预处理每个竹子的操作链  
    for h in H:  
        steps = 0  
        current = h  
        while current > 1:  
            # 逆向计算：current由next_step通过f(x)=x^2-1得到  
            next_step = math.isqrt(current - 1) + 1  
            steps += 1  
            current = next_step  
        max_steps = max(max_steps, steps)  
    return max_steps  

print(min_operations())

三、二分查找变种与技巧

1. 查找左边界

场景：数组中存在重复元素，找到第一个等于target的位置。

def left_bound(arr, target):  
    left, right = 0, len(arr) - 1  
    while left <= right:  
        mid = left + (right - left) // 2  
        if arr[mid] < target:  
            left = mid + 1  
        else:  
            right = mid - 1  # 压缩右边界  
    # 检查left是否越界或找到目标  
    return left if left < len(arr) and arr[left] == target else -1

2. 查找右边界

场景：找到最后一个等于target的位置。

def right_bound(arr, target):  
    left, right = 0, len(arr) - 1  
    while left <= right:  
        mid = left + (right - left) // 2  
        if arr[mid] <= target:  
            left = mid + 1  # 压缩左边界  
        else:  
            right = mid - 1  
    # 检查right是否有效  
    return right if right >=0 and arr[right] == target else -1