2. 括号匹配的检验
如果表达式中包含括号，当程序中含有这类表达式时，在代码编译过程中，必然会检查括号是否匹配，这是一项必需的语法检查环节。
（1）迭代版
此处假设表达式中只含有左、右圆括号，借助栈检验左右圆括号是否匹配。
- 每当读入一个左括号，则直接入栈，等待相匹配的右括号；
- 每当读入一个右括号，若栈顶为左括号，将当前栈顶的左括号出栈。否则返回
false（表示不匹配）； - 直到表达式扫描完毕，且栈为空时返回
true，否则返回false。
【算法描述】
//括号匹配检验：迭代版
bool math(char exp[], int n){
int i = 0;
char e;
bool match = true;
LinkStack * st; //本例使用链栈，使用顺序栈亦可
InitStack(st); //初始化栈
while(i < n && match){//扫描 exp 中的所有字符
if(exp[i] == "("){//当前字符为左括号，将其入栈
Push(st, exp[i]);
} else if (exp[i] == ")"){//当前字符为右括号
if(GetTop(st, e) == true){//成功取到栈顶元素 e
if (e != '(') //栈顶元素不为 '('
match = false; //表示不匹配
else //栈顶元素为 '('
Pop(st, e)； //将栈顶元素出栈
} else {
match = false; //无法取栈顶元素时表示不匹配
}
}
i++; //继续处理其他字符
}
if(!StackEmpty(st)) //栈不空时表示不匹配
match = false;
DestroyStack(st); //销毁栈
return match;
}
【算法分析】
- 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n) ， n n n 是字符串的长度
- 算法运行过程中的辅助空间是栈
st，其大小不会超过 n n n ，故空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n) 。
此算法的流程控制简单，而且便于推广至多类括号并存的场合。它自左向右逐个考查各字符， 忽略所有非括号字符。凡遇到左括号，无论属于哪类均统一压入栈中。若遇右括号，则弹出栈顶的左括号并与之比对。若二者属于同类，则继续检查下一字符；否则，即可断定表达式不匹配。 当然，栈提前变空或者表达式扫描结束后栈非空，也意味着不匹配。
（2）递归版
仅仅考虑圆括号，一般地，可以将表达式 S 分解为下面的形式：
S
=
S
0
+
"
(
"
+
S
1
+
"
)
"
+
S
2
+
S
3
S = S_0+^"(^"+S_1+^")^"+S_2+S_3
S=S0+"("+S1+")"+S2+S3
其中
S
0
S_0
S0 和
S
3
S_3
S3 不含括号。
很显然，当且仅当 S 1 S_1 S1 和 S 2 S_2 S2 的括号匹配（上式中为了表示明显地表示括号，将 " ( " ^"(^" "(" 和 S 1 S_1 S1 、 " ) " ^")^" ")" 和 S 2 S_2 S2 分开，事实上左右括号应该分别包含在 S 1 S_1 S1 和 S 2 S_2 S2 之内），表达式 S S S 的括号必匹配。
因此，可以使用分治算法，将表达式 S S S 划分为子表达式 S 0 、 S 1 、 S 2 、 S 3 S_0、S_1、S_2、S_3 S0、S1、S2、S3 ，分别递归地判断 S 1 S_1 S1 和 S 2 S_2 S2 是否匹配。
【算法描述】
void trim(char exp[], int &lo, int &hi){//删除 exp[lo, hi]不含括号的最长前缀、后缀
while((lo <= hi) && (exp[lo] != '(') && (exp[lo] != ')'))
lo++; //查找第一个括号
while((lo <= hi) && (exp[hi] != '(') && (exp[hi] != ')'))
hi--; //查找最后一个括号
}
int divide(char exp[], int lo, int hi){//切分 exp[lo, hi]，使 exp 匹配仅当子表达式匹配
int mi = lo;
int crc = 1; //crc 为 [lo, mi] 范围内左右括号的数目之差
while((0 < crc) && (++mi < hi)){//逐个检查字符，直到左右括号数目相等或者越界
if(exp[mi] == ')')
crc--; //遇到右括号减一
if(exp[mi] == '(')
crc++; //遇到左括号加一
}
return mi; //若 mi<=hi，则为合法切分点；否则，意味着局部不匹配
}
bool math(char exp[], int lo, int hi){
trim(exp, lo, hi); //清除不含括号的前缀、后缀
if (lo > hi)
return true;
if(exp[lo] != '(')
return false; //首字符非左括号，则必不匹配
if(exp[hi] != ')')
return false; //末字符非右括号，则必不匹配
int mi = divide(exp, lo, hi); //确定适当的切分点
if(mi > hi)
return false; //切分点不合法，意味着局部以至整体不匹配
return math(exp, lo+1, mi-1) && math(exp, mi+1, hi); //分别检查左、右子表达式
}
trim()函数用于截除表达式中不含括号的头部和尾部，即前缀 S 0 S_0 S0 和后缀 S 3 S_3 S3 。divide()函数对表达式做线性扫描，并动态地记录已经扫描的左、右括号数目之差。如此，当已扫过同样多的左、右括号时，即确定了一个合适的切分点mi，并得到子表达式S_1 = exp(lo, mi)和S_2 = exp(mi, hi]。- 递归地检查 S 1 S_1 S1 和 S 2 S_2 S2 ，即可判断原表达式是否匹配。
【算法分析】
在最坏情况下，divide() 需要线性时间，且递归深度为
O
(
n
)
O(n)
O(n) ，故以上算法共需
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2) 时间。
注意：上述方法难以处理含有多种括号的表达式，故不如迭代版适用性广。
