Hamming Distance（汉明距离）是用于衡量两个等长字符串在相同位置上不同字符的个数的度量。它通常用于比较两个二进制字符串或编码序列的差异。

定义

给定两个长度相同的字符串 $A$ 和 $B$，它们的汉明距离 $D(A,B)$ 是在相同位置上字符不同的位置的数量。

示例

1. 二进制字符串：
   • A=1011101
   • B=1001001
   • 汉明距离 $D(A,B)=2$（第3位和第5位不同）。
2. 字符串：
   • A=“karolin”
   • B=“kathrin”
   • 汉明距离 $D(A,B)=3$（第3、4、5位不同）。

应用

• 错误检测与纠正：在通信和编码理论中，汉明距离用于检测和纠正数据传输中的错误。
• 生物信息学：用于比较 DNA 序列的相似性。
• 机器学习：在分类算法中，用于计算样本之间的距离。

计算步骤

• 比较两个字符串的每一位。
• 统计不同位的数量。
• 返回统计结果作为汉明距离。

公式

对于长度为 $n$ 的两个字符串 $A$ 和 $B$，汉明距离为：
$$D(A,B)=\sum _{i=1}^n\delta (A_i,B_i)$$
其中，$\delta (A_i,B_i)$ 是指示函数，当 $A_i\ne B_i$ 时为1，否则为0。

461. Hamming Distance

The Hamming distance between two integers is the number of positions at which the corresponding bits are different.
Given two integers x and y, return the Hamming distance between them.

Example 1:

Input: x = 1, y = 4
Output: 2
Explanation:
1   (0 0 0 1)
4   (0 1 0 0)
       ↑   ↑
The above arrows point to positions where the corresponding bits are different.

Example 2:

Input: x = 3, y = 1
Output: 1

C++ 实现

int hammingDistance(int x, int y) {
    int xor_result = x ^ y;  // 异或操作
    int distance = 0;
    
    // 统计 xor_result 中 1 的个数
    while (xor_result != 0) {
        distance += xor_result & 1;  // 检查最低位是否为 1
        xor_result >>= 1;  // 右移一位
    }
    
    return distance;
}

复杂度分析

这个算法的时间复杂度为 $O(logn)$，其中 $n$ 是 x 和 y 的最大值。