SLAM 中的 NDT 代价函数
在SLAM（同步定位与地图构建）中，NDT（Normal Distributions Transform）是一种常用的点云配准方法。NDT代价函数用于评估点云配准的质量。以下是NDT代价函数的详细介绍：
NDT 代价函数
NDT代价函数的目标是最小化源点云和目标点云之间的误差。代价函数通常定义为：
[ \text{Cost} = \sum_{i} \left( \mathbf{p}_i - \mathbf{T}(\mathbf{q}_i) \right)^T \mathbf{C}_i^{-1} \left( \mathbf{p}_i - \mathbf{T}(\mathbf{q}_i) \right) ]
其中：
- (\mathbf{p}_i) 是目标点云中的点。
- (\mathbf{q}_i) 是源点云中的点。
- (\mathbf{T}) 是变换矩阵，用于将源点云变换到目标点云的坐标系中。
- (\mathbf{C}_i) 是目标点云中点 (\mathbf{p}_i) 的协方差矩阵。
代价函数的计算步骤
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点云分割：
- 将目标点云分割成多个体素（Voxel），每个体素包含若干个点。
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计算体素的均值和协方差：
- 对每个体素中的点，计算其均值 (\mathbf{\mu}_i) 和协方差矩阵 (\mathbf{C}_i)。
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变换源点云：
- 使用变换矩阵 (\mathbf{T}) 将源点云中的点 (\mathbf{q}_i) 变换到目标点云的坐标系中。
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计算代价函数：
- 对于每个变换后的源点 (\mathbf{T}(\mathbf{q}_i))，找到其对应的目标体素，计算代价函数的值。
代价函数的优化
为了找到最佳的变换矩阵 (\mathbf{T})，需要最小化代价函数。常用的优化方法包括：
- 梯度下降法：通过计算代价函数的梯度，逐步调整变换矩阵，直到找到最小值。
- 牛顿法：利用二阶导数信息，加速收敛过程。
- Levenberg-Marquardt算法：结合梯度下降法和牛顿法的优点，提高优化效率。
代码示例
以下是一个简单的NDT代价函数的Python实现示例：
import numpy as np
def ndt_cost_function(target_points, source_points, transform, covariances):
cost = 0.0
for i in range(len(target_points)):
p_i = target_points[i]
q_i = source_points[i]
C_i = covariances[i]
T_q_i = transform @ q_i
diff = p_i - T_q_i
cost += diff.T @ np.linalg.inv(C_i) @ diff
return cost
以下是一个简单的NDT代价函数的C++实现示例：
#include <Eigen/Dense>
#include <vector>
double ndt_cost_function(const std::vector<Eigen::Vector3d>& target_points,
const std::vector<Eigen::Vector3d>& source_points,
const Eigen::Matrix4d& transform,
const std::vector<Eigen::Matrix3d>& covariances) {
double cost = 0.0;
for (size_t i = 0; i < target_points.size(); ++i) {
Eigen::Vector3d p_i = target_points[i];
Eigen::Vector3d q_i = source_points[i];
Eigen::Matrix3d C_i = covariances[i];
Eigen::Vector3d T_q_i = (transform * q_i.homogeneous()).head<3>();
Eigen::Vector3d diff = p_i - T_q_i;
cost += diff.transpose() * C_i.inverse() * diff;
}
return cost;
}
