弗洛伊德算法（Floyd-Warshall算法）是一种用于求解所有节点对最短路径的动态规划算法，适用于有向图或无向图，且能处理带有负权边的图（但不能有负权环）。该算法的时间复杂度为 O(V3)O(V3)，其中 VV 是图的节点数。

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核心思想

弗洛伊德算法通过逐步优化路径来求解最短路径。其核心思想是：

1. 对于任意两个节点 ii 和 jj，检查是否存在一个中间节点 kk，使得从 ii 到 jj 的路径可以通过 kk 变得更短。

2. 通过动态规划逐步更新最短路径。

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算法步骤

1. 初始化：

   • 创建一个距离矩阵 DD，其中 D[i][j]D[i][j] 表示节点 ii 到节点 jj 的最短路径长度。

   • 如果 ii 和 jj 之间有直接边，则 D[i][j]D[i][j] 为边的权重；否则为无穷大（∞∞）。

   • 对角线上的值 D[i][i]D[i][i] 初始化为 0（节点到自身的距离为 0）。

2. 动态规划更新：

   • 对于每一个中间节点 kk（从 1 到 VV），更新所有节点对 ii 和 jj 的最短路径：

     D[i][j]=min⁡(D[i][j],D[i][k]+D[k][j])D[i][j]=min(D[i][j],D[i][k]+D[k][j])

   • 即，检查是否通过节点 kk 可以使 ii 到 jj 的路径更短。

3. 结束：

   • 当所有中间节点 kk 都被遍历后，矩阵 DD 中的值即为所有节点对的最短路径。

手动推导：

算法如下：

public class Foloyd {
    //弗洛伊德最短路径算法复现
    public static void Floyd(int [] [] dist, int [][] path)
    {
        int L=dist.length;
        for(int k=0;k<L;k++)
        {
            for(int i=0;i<L;i++)
            {
                for(int j=0;j<L;j++)
                {
                    if(dist[i][k]!=Integer.MAX_VALUE&&dist[k][j]!=Integer.MAX_VALUE)
                    {
                        //判断是否通过中转路径能更短
                        if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
                        {
                            //更新距离
                            dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
                            //中转点
                            path[i][j]=k;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("最短路径值为：");
        for(int i=0;i<L;i++)
        {
            for(int j=0;j<L;j++)
            {
                System.out.print(dist[i][j]);
                System.out.print(" ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("最短路径为：");
        for(int i=0;i<L;i++)
        {
            for(int j=0;j<L;j++)
            {
                System.out.print(path[i][j]);
                System.out.print(" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] vG= {{0,6,13}, {10,0,4}, {5,Integer.MAX_VALUE,0}};
        int[][] path={{-1,-1,-1},{-1,-1,-1},{-1,-1,-1}};
        Floyd(vG,path);

    }
}

结果如下：

最短路径值为：
0 6 10 
9 0 4 
5 11 0 
最短路径为：
-1 -1 1 
2 -1 -1 
-1 0 -1