记忆化搜索与动态规划:原理、实现与比较

news2025/4/4 14:56:57

        记忆化搜索和动态规划是解决优化问题的两种重要方法,尤其在处理具有重叠子问题和最优子结构性质的问题时非常有效。

目录

1. 记忆化搜索(Memoization)

定义:

实现步骤:

示例代码(斐波那契数列):

2. 动态规划(Dynamic Programming)

定义:

实现步骤:

示例代码(斐波那契数列):

3. 不同点与相同点

不同点:

相同点:

4. 联系与本质

联系:

本质:

5. 总结


1. 记忆化搜索(Memoization)

定义:

记忆化搜索是一种优化递归算法的方法,通过存储已经计算过的子问题的结果,避免重复计算。

实现步骤:

  1. 添加备忘录:通常使用数组或哈希表来存储已经计算过的结果。

  2. 递归返回时存储结果:在每次递归调用返回时,将结果存储在备忘录中。

  3. 递归前检查备忘录:在每次递归调用前,检查备忘录中是否已经有结果,如果有则直接返回。

示例代码(斐波那契数列):

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int fib(int n, vector<int>& memo) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != -1) return memo[n];
    memo[n] = fib(n-1, memo) + fib(n-2, memo);
    return memo[n];
}

int main() {
    int n = 10;
    vector<int> memo(n+1, -1);
    cout << "Fibonacci number is " << fib(n, memo) << endl;
    return 0;
}

2. 动态规划(Dynamic Programming)

定义:

动态规划是一种将复杂问题分解为更简单的子问题的方法,通过填表的方式自底向上解决问题。

实现步骤:

  1. 确定状态表示:定义状态变量,如dp[i]表示第i个斐波那契数。

  2. 推导状态转移方程:如dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

  3. 初始化:设置初始条件,如dp[0] = 0, dp[1] = 1

  4. 确定填表顺序:通常从左到右填写。

  5. 确定返回值:返回所需的结果,如dp[n]

示例代码(斐波那契数列):

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    vector<int> dp(n+1);
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

int main() {
    int n = 10;
    cout << "Fibonacci number is " << fib(n) << endl;
    return 0;
}

3. 不同点与相同点

不同点:

  • 实现方式:记忆化搜索是自顶向下的递归方法,而动态规划是自底向上的递推方法。

  • 存储方式:记忆化搜索使用备忘录存储中间结果,动态规划使用表格存储状态。

  • 调用顺序:记忆化搜索依赖于递归调用,动态规划依赖于循环迭代。

相同点:

  • 优化目标:两者都旨在避免重复计算,提高算法效率。

  • 适用问题:都适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

4. 联系与本质

联系:

  • 本质相同:两者都是对暴力解法的优化,通过存储中间结果来避免重复计算。

  • 相互转化:记忆化搜索可以看作是动态规划的递归实现,动态规划可以看作是记忆化搜索的迭代实现。

本质:

  • 暴力解法优化:两者都是对暴力解法的优化,通过存储已经计算过的值来减少计算量。

  • 重叠子问题:都利用了问题的重叠子问题性质,通过存储和重用子问题的解来提高效率。

5. 总结

        记忆化搜索和动态规划在本质上是相似的,都是通过存储中间结果来优化暴力解法。它们的主要区别在于实现方式和调用顺序。在实际应用中,选择哪种方法取决于具体问题的性质和编程习惯。理解它们的异同和联系,有助于更好地应用这些方法解决复杂的优化问题。

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