2024年认证杯SPSSPRO杯数学建模

A题 保暖纤维的保暖能力

原题再现：

  冬装最重要的作用是保暖，也就是阻挡温暖的人体与寒冷环境之间的热量传递。人们在不同款式的棉衣中会填充保暖材料，从古已有之的棉花、羽绒到近年来各种各样的人造纤维。不同的保暖纤维具有不同的保暖性能，比如人们以往的经验表明，高品质的羽绒具有非常优秀的保暖性能，所以在极寒地区生活的人们可以穿着不算特别厚重的羽绒服，也能够起到足够的御寒效果。但是羽绒作为保暖填充材料也有缺点：成本高，无法耐湿，以及获取手段可能对动物造成不人道的伤害。所以现在普遍认为人造的保暖纤维可能在今后取得更大的市场前景。
  我们专注于对人造保暖纤维的保暖能力进行建模。请你和你的团队建立合理的数学模型以回答下列问题。
  第二阶段问题：
  1. 我们依然假设使用涤纶作为保暖纤维的材料，现有的制造技术可以在一定范围内定制纤维的横截面形状。如果纤维的横截面积是确定的，请你根据数学模型来设计合适的形状，目的是使保暖性能达到最大。
  2. 如果我们不仅可以将涤纶制造成线形的纤维，还可以制造成分支状结构，这就可以制成类似羽绒的绒朵。请根据数学模型来设计其形状和尺寸规格，包括且不限于具有几级分支、各级分支的角度、每级枝干的直径和长度等关键参数，目的是使保暖性能达到最大。

整体求解过程概述(摘要)

  随着科技进步和人们对保暖材料需求的不断提升，人造纤维，尤其是涤纶纤维，因其成本低、性能稳定和环保等优点，成为现代保暖材料的重要选择。本研究通过数据预处理和优化算法，旨在设计出具有最佳保暖性能的涤纶纤维结构。
  本研究的数据预处理包括数据来源、数据描述和数据清洗三个部分。数据主要来源于科学文献和计算机模拟，涵盖了涤纶纤维的热阻、空气捕捉体积、导热系数及几何参数。数据清洗步骤包括缺失值处理、重复数据移除和数据格式转换。通过这些预处理步骤，确保数据的准确性和一致性，为涤纶纤维结构的优化设计提供了可靠的数据基础，最终实现最佳的保暖性能。

  针对问题一:
  本研究旨在优化涤纶纤维的横截面形状，以最大化其保暖性能。通过遗传算法对不同形状（包括圆形、等边三角形、正方形和正五角星形）进行优化。我们建立了综合评价模型，结合纤维的导热系数和比表面积，定义保暖性能评价指标Q。遗传算法通过初始化种群、适应度评估、选择、交叉和变异等步骤进行迭代优化。结果表明，经过多代优化，最终选择的正五角星形横截面，边长为a=0.4 cm，具有最佳的保暖性能。本研究证明了遗传算法在纤维材料设计中的有效性，为未来人造保暖纤维的研发提供了科学依据和实用方法。

  针对问题二:
  本研究通过粒子群优化算法（PSO）设计类似羽绒的分支状涤纶纤维
绒朵，以最大化其保暖性能。我们建立了数学模型，综合考虑热阻和空气捕捉体积作为保暖性能评价指标，并通过PSO优化分支结构的关键参数，包括分支级数、各级分支的角度、直径和长度。优化结果表明，具有3级分支、角度分别为45°、30°和20°，直径分别为0.4 cm、0.3 cm和0.2 cm，长度分别为8 cm、6 cm和4 cm的分支状结构具有最佳的保暖性能。本研究为新型保暖材料的设计提供了科学依据和实用方法。
  本研究的优化模型在涤纶纤维保暖性能的提升方面取得了显著成果。遗传算法和粒子群优化算法在处理复杂优化问题方面表现出色，能够在较短时间内找到接近最优的解决方案。模型综合考虑了热阻和空气捕捉体积两个关键因素，全面评估了保暖性能。尽管存在局部最优解和计算复杂度较高的缺点，但通过合理的数据预处理和参数设置，模型在理论和实践中展示了良好的效果和应用前景，为相关领域提供了创新的设计方法和应用方案。

问题分析：

  问题一：涤纶纤维横截面形状设计
为了设计出保暖性能最佳的涤纶纤维横截面形状，我们需要考虑以下几个因素：
   热导率（k）：热导率越低，材料的保暖性能越好。
   比表面积（A）：比表面积越大，捕捉空气的能力越强，从而提高保暖性能。
  基于这些因素，我们需要比较不同的横截面形状（如圆形、等边三角形、正方形和星形）的比表面积和热导率。通过建立数学模型，计算每种形状的比表面积和导热系数，最终选择保暖性能最优的形状。
  问题二：分支状涤纶纤维绒朵设计
  对于分支状涤纶纤维绒朵的设计，我们需要建立更加复杂的数学模型，考虑以下几个关键参数：
   分支级数（n）：分支的层数，影响空气捕捉能力和热阻。
   各级分支的角度（θi）：分支角度影响分支的排列和空间填充效率。
   每级枝干的直径（di）：不同级别的直径影响整体结构的刚性和保暖性。
   每级枝干的长度（li）：分支长度影响总的空气捕捉体积和热阻。
  我们需要通过粒子群优化算法（PSO）来优化这些参数，以最大化保暖性能评价指标 Q，其定义为热阻与空气捕捉体积的比值。

模型假设：

  为了简化问题并建立可行的数学模型，我们提出以下假设：
   问题一：涤纶纤维横截面形状设计
均匀材料假设：假设涤纶纤维的材料是均匀的，其导热系数 k 在整个纤维中是恒
定的，不受形状和尺寸的影响。
  固定横截面积假设：横截面积是固定的，但形状可以变化。我们主要考虑几何形状对保暖性能的影响，而不改变横截面积的大小。
  忽略边缘效应：在计算比表面积和导热系数时，忽略横截面形状的边缘效应，假设边缘对热传导的影响可以忽略不计。
  稳态热传导假设：假设热传导过程是稳态的，不随时间变化。即，热流量和温度梯度在整个纤维中是恒定的。
   问题二：分支状涤纶纤维绒朵设计
  均匀分支材料假设：假设每一级分支的材料性质是均匀的，其导热系数 k 在不同分支间不变。
  独立分支假设：假设每一级分支是独立的，其热阻和空气捕捉能力只与自身的几何参数相关，而不考虑分支间的相互影响。
  理想分支形状假设：假设分支是理想的几何形状（如圆柱形），各级分支的形状和尺寸可以通过简单的几何公式计算。
  稳态热传导假设：假设热传导过程是稳态的，不随时间变化，分支内和分支间的热流量和温度梯度是恒定的。
  无限空气捕捉假设：假设周围环境中有足够的空气可以被分支捕捉，不考虑空气的流动和分布不均匀性。
  分支长度限制假设：假设每一级分支的长度不会超过一定范围，以确保整个分支结构的机械稳定性和实际可操作性。
  固定节点假设：假设分支节点的连接是固定且稳固的，不会因外力或其他因素发生变化，确保分支结构在使用过程中保持不变。
  这些假设简化了问题的复杂性，使我们能够专注于关键参数的优化和保暖性能的提升。通过这些假设，我们建立了理论上可行的数学模型，为涤纶纤维结构的优化设计提供了坚实基础。

完整论文缩略图

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部分程序代码：

% 清除工作区 
clear; 
clc; 
 
% 创建一个新的图形窗口 
figure; 
 
% 圆形横截面 
subplot(2, 2, 1); 
theta = linspace(0, 2*pi, 100); 
x_circle = cos(theta); 
y_circle = sin(theta); 
plot(x_circle, y_circle, 'b'); 
axis equal; 
title('圆形横截面'); 
xlabel('半径 r'); 
ylabel('面积 A = πr²'); 
 
% 等边三角形横截面 
subplot(2, 2, 2); 
x_triangle = [0, 1, 0.5, 0]; 
y_triangle = [0, 0, sqrt(3)/2, 0]; 
plot(x_triangle, y_triangle, 'r'); 
axis equal; 
title('等边三角形横截面'); 
xlabel('边长 a'); 
ylabel('面积 A = (√3/4)a²'); 
 
% 正方形横截面 
subplot(2, 2, 3); 
x_square = [0, 1, 1, 0, 0]; 
y_square = [0, 0, 1, 1, 0]; 
plot(x_square, y_square, 'g'); 
axis equal; 
title('正方形横截面'); 
xlabel('边长 a'); 
ylabel('面积 A = a²'); 
 
% 星形横截面 
subplot(2, 2, 4); 
n = 5; % 五角星 
theta = linspace(0, 2*pi, 2*n + 1); 
rho = repmat([1, 0.5], 1, n); 
rho = [rho, 1]; 
[x_star, y_star] = pol2cart(theta, rho); 
plot(x_star, y_star, 'm'); 
axis equal; 
title('星形横截面'); 
xlabel('边长 a'); 
ylabel('面积 A'); 
% 调整布局 
sgtitle('不同横截面形状的可视化图'); 

import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
# 设置中文字体 
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体 
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 正常显示负号 
# 绘制圆形横截面 
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 10)) 
# 圆形横截面 
circle = plt.Circle((0.5, 0.5), 0.4, fill=False, edgecolor='blue', linewidth=2) 
axs[0, 0].add_patch(circle) 
axs[0, 0].set_xlim(0, 1) 
axs[0, 0].set_ylim(0, 1) 
axs[0, 0].set_aspect('equal', 'box') 
axs[0, 0].set_title('圆形横截面') 
axs[0, 0].set_xlabel('X 轴') 
axs[0, 0].set_ylabel('Y 轴')
# 等边三角形横截面 
triangle = plt.Polygon(((0.5, 0.1), (0.1, 0.9), (0.9, 0.9)), fill=False, edgecolor='green', linewidth=2) 
axs[0, 1].add_patch(triangle) 
axs[0, 1].set_xlim(0, 1) 
axs[0, 1].set_ylim(0, 1) 
axs[0, 1].set_aspect('equal', 'box') 
axs[0, 1].set_title('等边三角形横截面')
axs[0, 1].set_xlabel('X 轴') 
axs[0, 1].set_ylabel('Y 轴') 
# 正方形横截面 
square = plt.Polygon(((0.1, 0.1), (0.1, 0.9), (0.9, 0.9), (0.9, 0.1)), fill=False, edgecolor='red', linewid
 th=2) 
axs[1, 0].add_patch(square) 
axs[1, 0].set_xlim(0, 1) 
axs[1, 0].set_ylim(0, 1) 
axs[1, 0].set_aspect('equal', 'box') 
axs[1, 0].set_title('正方形横截面') 
axs[1, 0].set_xlabel('X 轴') 
axs[1, 0].set_ylabel('Y 轴') 
# 星形横截面 
n = 5  # 星形的点数 
r = 0.4  # 半径 
angles = np.linspace(0, 2 * np.pi, 2 * n + 1) 
points = [(0.5 + r * np.cos(a), 0.5 + r * np.sin(a)) for a in angles] 
star = plt.Polygon(points, fill=False, edgecolor='purple', linewidth=2) 
axs[1, 1].add_patch(star) 
axs[1, 1].set_xlim(0, 1) 
axs[1, 1].set_ylim(0, 1) 
axs[1, 1].set_aspect('equal', 'box') 
axs[1, 1].set_title('星形横截面') 
axs[1, 1].set_xlabel('X 轴') 
axs[1, 1].set_ylabel('Y 轴') 
plt.tight_layout() 
plt.show() 

全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可