此前篇章：

时间序列分析（一）——基础概念篇

时间序列分析（二）——平稳性检验

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一、相关知识点

白噪声的定义：白噪声序列是一种在统计学和信号处理中常见的随机过程，由一系列相互独立、具有相同概率分布的随机变量组成。这些随机变量之间没有任何相关性，因此在时间上是完全不相关的。这意味着序列中的每个值都是独立地从相同的概率分布中生成的。

白噪声的特性：

• 纯随机性：白噪声序列的各项之间没有任何相关关系。

• 方差齐性：序列中每个变量的方差都相等。

• 均值恒定：序列的均值在时间上保持恒定。

 白噪声检验的目的

• 判断时间序列的随机性：确定时间序列是否为纯随机序列，即是否存在可预测的模式或趋势。

• 检测统计上显著的结构：判断时间序列中是否存在统计上显著的结构，如趋势、季节性或周期性。

• 验证模型残差的随机性：在时间序列建模中，检验模型残差是否为白噪声，以验证模型的拟合效果。

白噪声检验的应用：

• 时间序列分析：在时间序列分析中，白噪声检验用于判断平稳序列是否为纯随机序列。如果序列是白噪声，说明序列中没有可预测的模式，历史数据对未来的预测没有帮助。如果序列不是白噪声，说明序列中存在可预测的模式，可以进一步进行建模和预测。

• 模型评估与选择：在时间序列建模中，白噪声检验用于验证模型残差是否为纯随机。如果残差是白噪声，说明模型已充分提取序列中的信息，模型拟合效果良好。如果残差不是白噪声，说明模型存在问题，可能需要调整参数或优化模型。

• 金融与经济学：在金融和经济学领域，白噪声检验用于判断市场数据是否为纯随机序列。如果市场数据是白噪声，说明市场是有效的，历史数据对未来的预测没有帮助。如果市场数据不是白噪声，说明市场中存在可预测的模式，可以进一步进行投资策略的制定。

白噪声检验与平稳性检验的联系：

• 平稳性检验：白噪声序列一定是平稳的，但平稳序列不一定是白噪声。平稳性检验是白噪声检验的前提条件。在进行白噪声检验之前，通常需要先进行平稳性检验，确保序列是平稳的。

• 联合使用：白噪声检验和平稳性检验可以结合使用，以全面评估时间序列的特性。例如，先进行平稳性检验，确保序列是平稳的，再进行白噪声检验，判断序列是否为纯随机序列。

二、白噪声检验的方法

（一）自相关图检验

自相关图检验优缺点：直观、易于理解，但主观性强，难以量化判断。

不同情况的自相关图和偏自相关图的特点：

• 随机序列（白噪声序列）：白噪声的自相关图和偏自相关图在滞后阶数大于0时，自相关系数和偏自相关系数都会迅速衰减到0，并在0附近随机波动。在滞后阶数为0时，两种系数都为1，因为任何信号与自身的零滞后（偏）自相关系数总是1。

• AR模型：自相关系数拖尾，偏自相关系数截尾。

• MA模型：自相关系数截尾，偏自相关函数拖尾。

• ARMA模型：自相关函数和偏自相关函数均拖尾。

演示图如下：

1、随机序列（白噪声序列）：

2、AR模型，以AR（1）为例：

3、MA模型，以MR（1）为例：

4、ARMA模型：

（二）Box-Pierce检验（BP检验）

原理：Box-Pierce检验通过计算特定滞后阶数的自相关系数来检测序列的纯随机性。

其统计量：

 其中，n 是样本量，h 是滞后阶数，ρ^​k​ 是第 k 阶自相关系数。如果 Q 统计量大于临界值，拒绝原假设，认为序列不是白噪声。

优缺点：

• 优点：计算简单，易于实现。

• 缺点：对滞后阶数的选择敏感，滞后阶数过小可能导致检验结果不准确。

（三）Ljung-Box检验 （LB检验）

原理： Ljung-Box检验是对Box-Pierce检验的改进，适用于大样本场合。

其统计量：

 其中，n 是样本量，h 是滞后阶数，ρ^​k​ 是第 k 阶自相关系数。如果 Q 统计量大于临界值，拒绝原假设，认为序列不是白噪声。

优缺点：

• 优点：适用于大样本，检验功效较高。

• 缺点：计算相对复杂，滞后阶数的选择对检验结果有影响。

（四）三种方法特点小结

自相关图检验：直观、易于理解，但主观性强，难以量化判断。

Box-Pierce检验：计算简单，易于实现，但对滞后阶数的选择敏感。

Ljung-Box检验：适用于大样本，检验功效较高，但计算相对复杂，滞后阶数的选择对检验结果有影响。

三、白噪声检验的注意事项

检验的局限性：白噪声检验只能判断序列是否为纯随机序列，不能判断序列中是否存在其他类型的结构，如趋势、季节性或周期性。在实际应用中，需要结合其他检验方法，如平稳性检验、趋势检验等，进行全面分析。

数据预处理：在进行白噪声检验之前，需要对数据进行预处理，如去除趋势、季节性等，以确保检验结果的准确性。

滞后阶数的选择：在进行Ljung-Box检验时，滞后阶数的选择对检验结果有影响。滞后阶数过小可能导致检验结果不准确，滞后阶数过大可能导致检验结果过于保守。在实际应用中，可以根据数据的特性和检验目的选择合适的滞后阶数。

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