嘿，各位技术潮人！好久不见甚是想念。生活就像一场奇妙冒险，而编程就是那把超酷的万能钥匙。此刻，阳光洒在键盘上，灵感在指尖跳跃，让我们抛开一切束缚，给平淡日子加点料，注入满满的passion。准备好和我一起冲进代码的奇幻宇宙了吗？Let's go！
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目录
差分
⼀维差分
题目理解：
思路讲解：
代码实现：
⼆维差分
题目理解：
思路讲解：
代码展示：
练习题：
答案：
差分
差分主要是用于对一个区间整体加或者减去同一个数这类问题，这里还是以一道题为例子展开吧
⼀维差分
题目理解：
给了一个长度为n的数组，要求对数组 l 到 r 区间进行加上 k 的处理进行m次，然后输出数组的所有元素。
思路讲解：
暴力解法：
要求对那个区间进行操作我们就一次for循环加上k就行了，但时间复杂度为m*n(1e5 * 1e5)显然会超时，这时我们就引出了差分数组
差分：
我们依旧像前缀和一样，创建一个差分数组，这里存储的不再是前缀和，而是这一位元素减去上一位元素的值
这就是一个差分数组，但我们要解决题目，这个差分数组有什么用呢？别急，我们先对原数组一个区间加上一个数，发现差分数组只改变了两个数，时间复杂度就从O(n)变成了O(1)了。
我们如果要在x~y区间加上k，就等价于a[x] += k , a[ y + 1] -= k.只需要改变这两个数就可以解决问题了。
心急的朋友这时又要问了，那我怎么还原原数组呢，我们仅需要对差分数组求前缀和就解决问题了，是不是很奇妙呢，所以说差分与前缀和互为逆运算。
代码实现：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
//差分数组
LL f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
//预处理
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
LL x; cin >> x;
f[i] += x;
f[i + 1] -= x;
}
//进行m次操作
while (m--)
{
int l, r, k; cin >> l >> r >> k;
f[l] += k, f[r + 1] -= k;
}
//对差分数组求前缀和还原
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] += f[i - 1];
cout << f[i] << " ";
}
return 0;
}
⼆维差分
题目理解：
给了个二维数组，要求对以(x1, y1)为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的每个元素都加上k，进行q次操作，最后输出数组
思路讲解：
暴力解法：
叫你加你就加，老老实实最后换来时间复杂度：O(n * m * q) = 1e4 * 1e4 * 1e5。时间复杂度都上天了。
二维差分：
差分数组的初始化先别忙着讲，先解决对以(x1, y1)为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的每个元素都加上k，这个问题，然后x1 = x2，y1 = y2, k = x，不就解决了差分数组初始化的问题了吗？
这是原数组，我们像实现如图的功能 。
我们从一维数组了解到，对差分数组求前缀和能得到原始数组，那我们不妨假设一个差分数组对任意位置加上一个k试试
然后我们对这个数组求前缀和，发现以x1，y1为左上角的矩阵的前缀和都受到了影响，都加上了k。
但我们只需但我们只需要对 以(x1, y1)为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的每个元素都加上k，我们再把边上的减去就成了：
发现就差一点就能完成任务了，最后将x2 + 1， y2 + 1位置加上k就大功告成了！
代码展示：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4 + 10;
//差分数组
LL f[N][N];
int n, m, q;
//添加k操作
void insert(LL x1, LL y1, LL x2, LL y2, LL k)
{
f[x1][y1] += k; f[x2 + 1][y2 + 1] += k;
f[x1][y2 + 1] -= k; f[x2 + 1][y1] -= k;
}
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
//预处理差分数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
LL x; cin >> x;
insert(i, j, i, j, x);
}
}
//进行q次操作
while (q--)
{
int x1, y1, x2, y2, k;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> k;
insert(x1, y1, x2, y2, k);
}
//前缀和差分数组还原原数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
cout << f[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}练习题：
一维差分：
海底高铁
二维差分：
地毯
答案：
海底高铁：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
LL f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
int x; cin >> x;
for (int i = 2; i <= m; i++)
{
int y; cin >> y;
if (x > y) f[x]--, f[y]++;
else f[y]--, f[x]++;
x = y;
}
//还原原数组
for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] += f[i - 1];
LL ret = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
int a, b, c; cin >> a >> b >> c;
ret += min(a * f[i], c + b * f[i]);
}
cout << ret << endl;
return 0;
}地毯：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
while (m--)
{
int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
f[x1][y1]++; f[x2 + 1][y1]--;
f[x1][y2 + 1]--; f[x2 + 1][y2 + 1]++;
}
//还原
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
cout << f[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
