行列式 det

行列式定义参考

$$det(A)=\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_n}(-1{)}^{\sigma (i_1,\cdots ,i_n)}{a}_{1,i_1}{a}_{2,i_2},\cdots ,a_{n,i_n}$$
$i_1,\cdots ,i_n$ 是 $1,\cdots ,n$ 的排列.

参数
x (Tensor)：输入一个或批量矩阵。x 的形状应为 [*, M, M]，其中 * 为零或更大的批次维度，数据类型支持 float32、float64。

返回
Tensor，输出矩阵的行列式值 Shape 为 [*] 。

多个方阵的行列式

import paddle
paddle.seed(2023)
x =  paddle.randn([4,3,3])
A = paddle.linalg.det(x)
print(A)

常用方阵的行列式：

import paddle
paddle.seed(2023)
x =  paddle.randn([3,3])
A = paddle.linalg.det(x)
print(A)

矩阵的范数 norm

矩阵的算子范数

矩阵的算子范数（也称为矩阵范数或诱导范数）是衡量矩阵作为线性算子作用在向量上的“放大”程度的一种度量。算子范数依赖于向量范数的定义，常见的算子范数包括以下几种：

1. 2-范数（谱范数）：
   矩阵的2-范数是矩阵最大奇异值或最大特征值的绝对值。对于矩阵 $A$ ，2-范数定义为：
   $$\Vert A{\Vert }_2={\sigma }_{\max }(A)$$
   其中 ${\sigma }_{\max }(A)$ 是矩阵 $A$ 的最大奇异值。2-范数也是矩阵作为线性算子在欧几里得空间中最大“拉伸”效果的度量。
2. 1-范数：
   矩阵的1-范数是矩阵列向量1-范数的最大值。对于矩阵 $A$ ，1-范数定义为：
   $$\Vert A{\Vert }_1=\underset{\Vert x{\Vert }_1=1}{\max }\Vert Ax{\Vert }_1$$
   这实际上是矩阵列向量的绝对和的最大值。
3. $\infty$-范数（无穷范数）：
   矩阵的$\infty$-范数是矩阵行向量1-范数的最大值。对于矩阵 $A$ ，$\infty$-范数定义为：
   $$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{\Vert x{\Vert }_{\infty }=1}{\max }\Vert Ax{\Vert }_{\infty }$$
   这实际上是矩阵行向量的绝对和的最大值。
4. p-范数：
   更一般地，可以定义矩阵的p-范数。对于矩阵 $A$ ，p-范数定义为：
   $$\Vert A{\Vert }_p=\underset{\Vert x{\Vert }_p=1}{\max }\Vert Ax{\Vert }_p$$
   其中 $p$ 是一个正实数。当 $p=2$ 时，就是2-范数（谱范数）。
   算子范数的性质：

• 正定性：对于任意矩阵 $A$，都有 $\Vert A\Vert \ge 0$，且 $\Vert A\Vert =0$ 当且仅当 $A=0$。
• 齐次性：对于任意矩阵 $A$ 和标量 $c$，都有 $\Vert cA\Vert =|c|\Vert A\Vert$。
• 三角不等式：对于任意矩阵 $A$ 和 $B$，都有 $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$。
• 相容性：对于任意矩阵 $A$ 和 $B$，都有 $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$。

矩阵的核范数

矩阵的核范数（Nuclear Norm）是矩阵理论中的一个重要概念，特别是在低秩矩阵恢复和压缩感知等领域。核范数是矩阵奇异值之和，它可以看作是矩阵的秩的一种凸近似。
对于任意矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，其核范数定义为：
$$\Vert A{\Vert }_{\ast }=\sum _{i=1}^{\min (m,n)}{\sigma }_i(A)$$
其中，${\sigma }_i(A)$表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 个奇异值，奇异值是矩阵 $A$ 的奇异值分解（SVD）中的非负对角元素。
核范数的一些重要性质包括：

1. 凸性：核范数是矩阵秩的凸包络，这意味着它是秩函数的最小凸近似。在优化问题中，使用核范数可以使得问题变得可解，因为秩函数是非凸的，而核范数是凸的。
2. ** lipschitz连续性**：核范数是 lipschitz连续的，这意味着对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$，存在常数 $L$ 使得：
   $$\Vert A{\Vert }_{\ast }-\Vert B{\Vert }_{\ast }\Vert \le L\Vert A-B{\Vert }_F$$
   其中 ( | \cdot |_F ) 表示 Frobenius 范数。
3. 矩阵逼近：在给定矩阵的核范数约束下，最优的低秩逼近可以通过矩阵的奇异值软阈值化实现。这意味着核范数在低秩矩阵逼近问题中起着关键作用。

矩阵的Frobenius范数

矩阵的F范数，也称为Frobenius范数，是矩阵元素平方和的平方根。它将矩阵视为一个长向量，并计算其欧几里得范数。对于任意矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，其Frobenius范数定义为：
$$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}$$
其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
Frobenius范数的一些重要性质包括：

1. 与核范数的关系：对于任意矩阵 $A$，有 $\Vert A{\Vert }_{\ast }\le \Vert A{\Vert }_F$，其中 $\Vert A{\Vert }_{\ast }$表示矩阵的核范数。
2. 与2-范数的关系：对于矩阵 $A$ ，其Frobenius范数等于其向量化的2-范数，即 $\Vert A{\Vert }_F=\Vert vec(A){\Vert }_2$，其中 $vec(A)$ 表示将矩阵 $A$ 按列堆叠成向量。

paddle.linalg.norm(x, p=None, axis=None, keepdim=False, name=None)

将计算给定 Tensor 的矩阵范数（Frobenius 范数, Nuclear 范数或 p 范数）和向量范数（向量 1 范数、2 范数、或者通常的 p 范数）。

该函数计算的是向量范数还是矩阵范数，确定方法如下: - 如果 axis 是 int 类型，计算向量范数 - 如果 axis 是二维数组，计算矩阵范数 - 如果 axis 为 None，x 会被压缩成一维向量然后计算向量范数

Paddle 支持以下范数:

参数
x (Tensor) - 输入 Tensor。维度为多维，数据类型为 float32 或 float64。

p (int|float|string，可选) - 范数(ord)的种类。目前支持的值为fro(Frobenius范数) 、 nuc（核范数）、inf、-inf、0、1、2，和任何实数 p 对应的 p 范数。默认值为 None。

axis (int|list|tuple，可选) - 使用范数计算的轴。如果 axis 为 None，则忽略 input 的维度，将其当做向量来计算。如果 axis 为 int 或者只有一个元素的 list|tuple，norm API 会计算输入 Tensor 的向量范数。如果 axis 为包含两个元素的 list，API 会计算输入 Tensor 的矩阵范数。当 axis < 0 时，实际的计算维度为 rank(input) + axis。默认值为 None 。

keepdim (bool，可选) - 是否在输出的 Tensor 中保留和输入一样的维度，默认值为 False。当 keepdim 为 False 时，输出的 Tensor 会比输入 input 的维度少一些。

name (str，可选) - 具体用法请参见 Name，一般无需设置，默认值为 None。

返回
Tensor，在指定 axis 上进行范数计算的结果，与输入 input 数据类型相同。

import paddle
x = paddle.arange(24, dtype="float32").reshape([2, 3, 4]) - 12
print(x)

# compute frobenius norm along last two dimensions.
out_fro = paddle.linalg.norm(x, p='fro', axis=[0,1])
print(out_fro)

# compute 2-order vector norm along last dimension.
out_pnorm = paddle.linalg.norm(x, p=2, axis=-1)
print(out_pnorm)

# compute 2-order  norm along [0,1] dimension.
out_pnorm = paddle.linalg.norm(x, p=2, axis=[0,1])
print(out_pnorm)

# compute inf-order  norm
out_pnorm = paddle.linalg.norm(x, p=float("inf"))
print(out_pnorm)

out_pnorm = paddle.linalg.norm(x, p=float("inf"), axis=0)
print(out_pnorm)

# compute -inf-order  norm
out_pnorm = paddle.linalg.norm(x, p=-float("inf"))
print(out_pnorm)

out_pnorm = paddle.linalg.norm(x, p=-float("inf"), axis=0)
print(out_pnorm)

条件数 cond

$$\mathrm{cond}(A,p)=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert A{\Vert }_p}{\Vert A^{-1}{\Vert }_p}$$
其中 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 是矩阵的 $p$ 范数。

根据范数种类 p 计算一个或一批矩阵的条件数，也可以通过 paddle.cond 来调用。

参数
x (Tensor)：输入可以是形状为 (, m, n) 的矩阵 Tensor， * 为零或更大的批次维度，此时 p 为 2 或 -2；也可以是形状为 (, n, n) 的可逆（批）方阵 Tensor，此时 p 为任意已支持的值。数据类型为 float32 或 float64 。

p (float|string，可选)：范数种类。目前支持的值为 fro(Frobenius范数) 、 nuc（核范数） 、 1 、 -1 、 2 、 -2 、 inf 、 -inf。默认值为 None，即范数种类为 2 。

name (str，可选) - 具体用法请参见 Name，一般无需设置，默认值为 None。

返回
Tensor，条件数的计算结果，数据类型和输入 x 的一致。

import paddle
paddle.seed(2023)
x = paddle.to_tensor([[1., 0, -1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]])

# compute conditional number when p is None
out = paddle.linalg.cond(x)
print(out)

# compute conditional number when order of the norm is 'fro'
out_fro = paddle.linalg.cond(x, p='fro')
print(out_fro)

# compute conditional number when order of the norm is 'nuc'
out_nuc = paddle.linalg.cond(x, p='nuc')
print(out_nuc)

# compute conditional number when order of the norm is 1
out_1 = paddle.linalg.cond(x, p=1)
print(out_1)

# compute conditional number when order of the norm is -1
out_minus_1 = paddle.linalg.cond(x, p=-1)
print(out_minus_1)

# compute conditional number when order of the norm is 2
out_2 = paddle.linalg.cond(x, p=2)
print(out_2)

# compute conditional number when order of the norm is -1
out_minus_2 = paddle.linalg.cond(x, p=-2)
print(out_minus_2)

# compute conditional number when order of the norm is inf
out_inf = paddle.linalg.cond(x, p=float("inf"))
print(out_inf)

# compute conditional number when order of the norm is -inf
out_minus_inf = paddle.linalg.cond(x, p=-float("inf"))
print(out_minus_inf)

a = paddle.randn([2, 4, 4])
print(a)

a_cond_fro = paddle.linalg.cond(a, p='fro')
print(a_cond_fro)

b = paddle.randn([2, 3, 4])
print(b)

b_cond_2 = paddle.linalg.cond(b, p=2)
print(b_cond_2)

矩阵的秩

线性无关性的定义

一组向量被称为线性无关，如果其中没有任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合， 例如
${\alpha }_1={\sum }_{i=2}^n{k}_i{\alpha }_i$。
矩阵的行向量组和列向量组
给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ ，它包含 $m$ 个行向量和 $n$ 个列向量。
极大线性无关组
在一组向量中，极大线性无关组是指包含最多线性无关向量的子集。添加任何额外的向量都会使该组变得线性相关。

矩阵的秩的定义

矩阵 $A$ 的秩是指其行向量组或列向量组中极大线性无关组的大小。
矩阵的行秩等于其列秩，统称为矩阵的秩。

import paddle

a = paddle.eye(10)
b = paddle.linalg.matrix_rank(a)
print(b)

c = paddle.ones(shape=[3, 4, 5, 5])
d = paddle.linalg.matrix_rank(c, tol=0.01, hermitian=True)
print(d)