【算法设计与分析】实验7：复杂装载及0/1背包问题的回溯法设计与求解

一、实验目的

二、实验环境

三、实验内容

四、核心代码

五、记录与处理

六、思考与总结

七、完整报告和成果文件提取链接

一、实验目的

针对复杂装载问题、及0/1背包问题开展分析、建模、评价，算法设计与优化，并进行编码实践。

理解复杂装载问题及0/1背包问题的回溯法求解策略，能够对比分析与动态规划求解复杂装载问题的策略差异；能够根据具体的问题进行解空间树的构造及剪枝函数设计；针对如上两个问题利用回溯法进行设计求解，并进行对比两个问题求解时的异同。并利用JAVA/C/C++等编程语言将算法转换为对应的程序上机运行（语言自选）。

二、实验环境

1、机房电脑 Window10

2、Eclipse /DEVC++等

三、实验内容

实验要求：

1、掌握回溯法进行问题分析及建模的过程；

2、复杂装载、及0/1背包问题能够利用回溯法开展算法设计与优化；

（1）复杂装载问题背景：指定两艘船容量C1,C2，给定n个货物，各物品重量wi已知。请问是否可以成功装入两艘船，及如何选择物品分别装入两艘船？

（2）0/1背包问题背景：指定背包容量C，给定n个商品，各商品重量wi、价值vi已知。如何选择商品，使得装入背包的价值最大？

3、能够对上述问题的回溯法进行时间复杂性分析，并与动态规划进行对比。

【回溯法原理】

回溯法是一种暴力搜索方法，它将问题的解表示为n元组(x1, x2, …, xn)的形式。其核心在于逐步构建一个解空间，过程中涉及选择、判断及必要的回退步骤，直至找到问题的解或确认无解。这种求解思路类似于逐步探索的过程，一旦当前路径不满足求解条件，便“回溯”以尝试其他路径。

解决一个问题的所有可能的决策序列就是解空间。

对于回溯法解决的问题而言，它的解空间一般用树或图的形式来组织，即为解空间树，树的每一个结点确定每个问题的一个状态。树的根结点代表初始状态，以下每一层代表所作出的选择。

由于回溯法解决的问题较为冗杂，情况复杂，所以用回溯法搜索解空间时，通常采用两种策略避免无效搜索，提高回溯的搜索效率。

实验原理：

1、针对复杂装载背包问题，如何利用回溯法进行算法设计

【装载方案】

(1)首先将第一艘轮船尽可能装满;

(2)然后将剩余的集装箱装在第二艘轮船上;

将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，在承载范围内，使该子集中集装箱重量之和最大。

复杂装载问题的解空间是一个子集树。

【求解思路】

(1) 将尽可能多的集装箱装到第一艘船上

(2) 约束条件判断：cw + w[i] <= c，判断当前路径是否可以装载当前集装箱 i 而不超过船的最大承载能力 c

(3) 剪枝函数（限界条件）：cw + r ＞bestw，判断当前路径是否有可能超过已知的最佳装载重量 bestw。

(4) 终止条件判断：当i>n时，说明已经遍历到叶子节点，此时判断cw > bestw，这个条件的作用是判断当前路径的装载重量 cw 是否超过了已知的最佳装载重量 bestw，如果满足则需要更新 bestw 为当前的装载重量 cw。

利用回溯法求解时：在最坏情况下，每个集装箱都有两个选择（装或不装），因此递归树的分支因子为 2。因此，递归树的最大深度为 n，每层最多有两个分支。最坏情况时间复杂度是O( )，剪枝策略的存在，会使实际运行时间通常会低于这个值，回溯法的空间复杂度为 O(n)

采用动态规划算法时，时间复杂度为动态规划算法O(nc) ，最优空间复杂度为O(c)

一般情况下使用动态规划算法解决复杂装载问题的时间复杂度更优。

2、针对0/1背包问题，如何利用回溯法进行算法设计

【装载方案】

背包容量限制：每次选择物品时，必须确保当前背包中的物品总重量不超过背包容量 c。

物品选择限制：每个物品只能选择一次（0/1背包问题）。

最优解要求：在所有满足约束条件的解中，选择总价值最大的解。

【求解思路】

(1) 将尽可能多的价值高的装到背包中

(2) 约束条件判断：cw + w[i] <= c，该条件用于判断当前物品是否可以被选择。

(3) 剪枝函数（限界条件）：剪枝函数 bound 用于计算当前解的上界，以决定是否继续搜索某个分支。cp+rp>bestp

(4) 终止条件判断：条件：i > n，当所有物品都已经考虑完毕时， i 超过物品数量 n时，检查当前解的价值 cp 是否大于已知的最佳价值 bestp。如果当前解更好，则更新最佳价值 bestp 并记录当前解 bestx。

对于0/1背包问题，回溯法方法求解时，计算上界需要O(n)时间，在最坏情况下有O( )个右儿子结点需要计算上界，所以时间复杂度为O( )，回溯法求解的空间复杂度为O(n)。

采用动态规划算法时，时间复杂度为O(nc) ，最优空间复杂度为O(c)

一般情况下使用动态规划算法解决0/1背包问题的时间复杂度更优。

3、针对同一问题，对比动态规划及回溯法求解的算法复杂度。

1.利用回溯法求解时：在最坏情况下，每个集装箱都有两个选择（装或不装），因此递归树的分支因子为 2。因此，递归树的最大深度为 n，每层最多有两个分支。最坏情况时间复杂度是O(2n )，剪枝函数会使实际运行时间通常会低于这个值，回溯法求解的空间复杂度为O(n)。

采用动态规划算法时，时间复杂度为O(nc) , 最优空间复杂度为O(c)

一般情况下使用动态规划算法解决复杂装载问题的时间复杂度更优。

对于0/1背包问题，回溯法方法求解时，计算上界需要O(n)时间，在最坏情况下有O(2n )个右儿子结点需要计算上界，所以时间复杂度为O(n2n )，回溯法求解的空间复杂度为O(n)。

采用动态规划算法时，时间复杂度为O(nc) ，最优空间复杂度为O(c)

一般情况下使用动态规划算法解决0/1背包问题的时间复杂度更优。

四、核心代码

// 回溯函数，用于搜索所有可能的解
void backtrack(int i) {
    if (i > n) { // 如果已经考虑完所有物品
        if (cp > bestp) { // 如果当前价值大于已知最佳价值
            bestp = cp; // 更新最佳价值
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                bestx[j] = x[j]; // 记录最佳解
            }
        }
        return;
    }
    // 搜索左子树：选择当前物品
    if (cw + w[i] <= c) {
        x[i] = 1; // 标记选择当前物品
        cw += w[i]; // 更新当前重量
        cp += p[i]; // 更新当前价值
        backtrack(i + 1); // 递归处理下一个物品
        cw -= w[i]; // 回溯，恢复当前重量
        cp -= p[i]; // 回溯，恢复当前价值
    }
    // 搜索右子树：不选择当前物品
    if (bound(i + 1) > bestp) { // 只有当上界大于已知最佳价值时才继续搜索
        x[i] = 0; // 标记不选择当前物品
        backtrack(i + 1); // 递归处理下一个物品
    }
}

void backtrack(int i) {        //搜索深度为i的结点 
    if (i > n) {            // 如果所有货物都考虑完毕
        if (cw1 + cw2 > bestw) {    // 如果当前装载的总重量大于已知的最优解
            bestw = cw1 + cw2;        // 更新最优解的重量
            for (int j = 0; j <= n; ++j) {
                bestx[j] = x[j];    // 保存当前的装载方案
            }
        }
        return;
    }
    // 尝试将第i个物品放入第一艘船
    if (cw1 + w[i] <= C1 && cw1 + r1 > bestw) {
        x[i] = 1;
        cw1 += w[i];     // 更新第一艘船的装载重量
        r1 -= w[i];        // 更新剩余重量
        backtrack(i + 1);
        cw1 -= w[i];    // 回溯，恢复状态
        r1 += w[i];
    }
}