面向程序员的Lean 4教程(2) - 数组和列表
上一节我们介绍了Lean4的基本语法，因为大部分程序员都有一定的编程基础，所以并没有介绍过细。这一节我们介绍Lean4中的线性表结构：数组和列表，顺带复习一下上一节的流程控制等内容。
数组
创建数组
Lean4中的数组可以用#[]来进行初始化，也可以用Array.mk来创建。数组的元素类型可以是任意类型，但是所有元素的类型必须相同。
let a1 : Array Nat := #[1, 2, 3, 4, 5]
let a2 : Array Int := Array.mk [1, 2, 3, 4, 5]
IO.println a1
IO.println a2
输出如下：
#[1, 2, 3, 4, 5]
#[1, 2, 3, 4, 5]
访问数组元素
Lean4中的数组元素可以通过a[i]来访问，其中a是数组，i是索引。
IO.println a1[0]
IO.println a2[1]
我们也可以通过Array.get来访问数组元素。
如果想直接获取值，我们可以使用get!，如果可能为空，我们要使用get?。
IO.println a1.get! 0
IO.println a2.get? 1
get?返回一个Option类型，我们可以通过match来处理。
match a1.get? 10 with
| none => IO.println "Not found"
| some v => IO.println v
修改数组元素
Lean4中的数组元素是只读的，我们不能直接修改数组元素。如果想修改数组元素，我们可以使用Array.set!，它会返回一个新的数组。
let a4 : Array Nat := Array.set! a1 0 10
IO.println a4
获取数组长度
Lean4中的数组长度可以通过Array.size来获取：
IO.println (Array.size a4)
IO.println (a4.size)
拼接数组
Lean4中的数组可以通过Array.append来拼接：
let a5 := Array.append a1 a4
IO.println a5
输出如下：
#[1, 2, 3, 4, 5, 10, 2, 3, 4, 5]
数组切片
Lean4中的数组可以通过Array.extract来切片：
let a6 := Array.extract a5 1 4
IO.println a6
输出如下：
#[2, 3, 4]
数组反转
Lean4中的数组可以通过Array.reverse来反转：
let a7 := Array.reverse a5
IO.println a7
输出如下：
#[5, 4, 3, 2, 10, 5, 4, 3, 2, 1]
数组排序
Lean4中的数组可以通过Array.qsort来排序：
let a8 := Array.qsort a5 (fun x y => x < y)
IO.println a8
输出如下：
#[1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 10]
fun定义了一个匿名函数，x < y是函数体。
但是这样的写法不高级，在Lean4中我们可以使用洞来简化：
let a8 := Array.qsort a5 (. < .)
IO.println a8
fun这样的关键字省了，形式参数用.来表示，只突出了最重要关系判断的部分。是不是很高级？：）
查找数组是否包含某个元素
Lean4中的数组可以通过Array.contains来查找是否包含某个元素：
let b2 := Array.contains a8 10
IO.println b2
输出为true。
查找符合条件的元素
如果只想找到一个符合条件的元素，我们可以使用Array.find?：
let a10 := Array.find? (. > 3) a8
IO.println a10
输出为some 4。
如果想找到所有符合条件的元素，我们可以使用Array.filter：
let a11 := Array.filter (. > 3) a8
IO.println a11
输出为#[4, 4, 5, 5, 10]。
像栈一样操作数组
Lean4中的数组可以通过Array.push来像栈一样操作：
let a11 := a10.push 100
IO.println a11
输出如下：
#[8, 10, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 100]
然后我们可以通过Array.pop来弹出栈顶元素，这样数组就变成了原来的数组：
let a12 := a11.pop
IO.println a12
输出如下：
#[8, 10, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
列表
数组一般是在内存中连续存储的，而列表是在内存中不连续存储的。
可以通过[]来创建列表：
let l1 : List Nat := [1, 2, 3, 4, 5]
IO.println l1
输出如下：
[1, 2, 3, 4, 5]
除此之外，我们还可以使用List.range来创建：
let l2 := List.range 10
IO.println l2
输出如下：
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
列表的连接
Lean4中的列表可以通过List.append来连接，但是更常用的是++运算符：
let l3 := l1 ++ l2
IO.println l3
输出如下：
[1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
获取列表长度
Lean4中的列表长度可以通过List.length来获取：
IO.println (List.length l3)
IO.println (l3.length)
输出如下：
15
15
列表的反转
同数组一样，Lean4中的列表可以通过List.reverse来反转：
let l4 := l3.reverse
IO.println l4
输出如下：
[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 5, 4, 3, 2, 1]
列表的遍历
按命令式编程的思维，传统方式就是用for循环来遍历列表：
for x in l5 do
IO.println x
用函数式编程的方式，我们可以使用map来遍历列表。比如生成一个新的列表，每个元素都是原来的元素的2倍：
let l5 := l3.map ( . * 2)
IO.println l5
列表的切片
Lean4中的列表可以通过List.take来获取前n个元素：
let l6 := l5.take 3
IO.println l6
输出如下：
[2, 4, 6]
Lean4中的列表可以通过List.drop来删除前n个元素：
let l7 := l5.drop 3
IO.println l7
输出如下：
[8, 10, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
列表的折叠
折叠是函数式编程中的一个重要概念，它可以将一个列表中的元素通过某种规则合并成一个值。
最常用的折叠情况就是求和：
let l8 := l7.foldl (. + .) 0
IO.println l8
输出为108。
我们同样可以使用foldr来从右边开始折叠，这次我们求积。但是我们的列表里有0，所以我们先用filter过滤掉0：
let l9 := l7.filter (. > 0)
IO.println (l9.foldr (. * .) 1)
列表转换成数组
Lean4中的列表可以通过List.toArray来转换成数组：
let a10 := l9.toArray
IO.println a10
输出如下：
#[8, 10, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
列表去重
Lean4中的列表可以通过List.eraseDup来去重，也就是去掉重复的元素：
let l10 := l5.eraseDups
IO.println l10
输出如下：
[2, 4, 6, 8, 10, 0, 12, 14, 16, 18]
列表的量词
Lean4中的列表可以通过List.all来判断是否所有元素都满足某个条件，例：
let b3 := l5.all (. > 0)
IO.println b3
我们知道，l5中含有元素0，所以输出为false。
Lean4中的列表还可以通过List.any来判断是否有元素满足某个条件：
let b4 := l5.any (. > 0)
IO.println b4
因为除了0以外，l5中的所有元素都大于0，所以满足条件，输出为true。
给列表的头部添加元素
可以使用构造符号::来给列表的头部添加元素，当然，是生成新的列表：
let l11 := 100 :: l5
IO.println l11
输出如下：
[100, 2, 4, 6, 8, 10, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
在头部添加元素的时间复杂度是O(1)。
在尾部添加元素的时间复杂度是O(n)，就是我们之前介绍的++运算符。
可变的数组和列表
Lean4中的数组和列表是不可变的，如果想要可变的数组和列表，我们可以使用IO.Ref。
注意，从IO.Ref获取值时，我们需要使用←，不要写成:=。
let mut r1 ← IO.mkRef #[1, 2, 3, 4, 5]
let mut r2 ← IO.mkRef [1, 2, 3, 4, 5]
然后我们可以通过IO.Ref.get来获取值，通过IO.Ref.set来设置值。
let mut r1 ← IO.mkRef #[1, 2, 3, 4, 5]
let arr1 ← r1.get
IO.println arr1
r1.set (arr1.push 6)
IO.println (← r1.get)
输出如下：
#[1, 2, 3, 4, 5]
#[1, 2, 3, 4, 5, 6]
对于列表，我们也是同样做法：
let mut r2 ← IO.mkRef [1, 2, 3, 4, 5]
let arr2 ← r2.get
IO.println arr2
r2.set (arr2 ++ [6])
IO.println (← r2.get)
输出如下：
[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 3, 4, 5, 6]
小练习
下面我们做几个小练习，看看大家有没有适应Lean4的编程方式。
- 将一个Nat类型的列表转换成Int类型的列表
例：
let l13: List Nat := [1, 2, 3, 4, 5]
let l14 := l13.map Int.ofNat
IO.println l14
Int.ofNat是将Nat类型转换成Int类型的函数，所以我们不需要再定义一个新的函数，直接调用它就可以了。
- 由于List只能顺序访问，我们将其转化成数组，然后排序，最后再转化回List。
例：
def sortList (lst : List Nat) : List Nat :=
let arr := List.toArray lst -- 将列表转换为数组
let sortedArr := Array.qsort arr (. < .) -- 对数组进行排序
Array.toList sortedArr -- 将排序后的数组转换回列表
- 实现一个函数，遍历二维数组
最简单的方法就是使用两个for循环：
def traverse2DArray (arr : Array (Array Nat)) : IO Unit := do
for row in arr do
for elem in row do
IO.print s!"{elem} "
IO.println ""
当然也可以采用别的函数式的方法，或者递归的方法。
小结
本节我们不厌其烦地介绍了很多数组和列表的操作，在让大家熟悉这两种数据结构的同时，也是让大家进一步熟悉Lean4的基本编程方式。我们后面会继续深入，现在大家可以先练习一下用Lean4来写一些简单的代码。
