一、为何引入 Batch Normalization

  现在主流的卷积神经网络几乎都使用了批量归一化（Batch Normalization，BN）¹，它是一种逐层归一化方法，可以对神经网络中任意的中间层进行归一化操作。我们可以从不同角度来理解为什么要引入 Batch Normalization：

① 训练时的误差表面（error surface） 可能会十分崎岖，使得做优化时容易陷入局部最优值或鞍点等。通常我们会使用各种算法如Adam等进行优化，那么能不能直接改误差表面的地貌，“把山铲平”，让它变得比较好训练呢？Batch Normalization 就是其中一个“把山铲平”的想法²。另外一个好处是，误差表面变得没那么崎岖后，我们在训练时便可以增大学习率，使得网络更快收敛。

② 对于典型的多层感知机或卷积神经网络，在训练时中间层中的变量可能具有更广的变化范围。也就是说，随着训练时间的推移，每一层的模型参数分布范围变化莫测（比如一个深层网络，反向传播更新参数时，顶层与最底层数据范围差异会比较大，因为最底层相当于通过链式法则乘了一堆偏导数，导致数据范围非常大或小）：

变量分布中的不规则的偏移可能会阻碍网络的收敛，因此为了使各层拥有适当的数据范围，通过 Batch Normalization“强制性”地调整数据分布使其约束到更小的范围（标准正态分布），这样便可以使得训练更加稳定，且对于初始值的设置没那么敏感。调整之后示意图如下：

③ 深层的网络很复杂，容易过拟合。而 Batch Normalization可以作为一种隐形的正则化方法，减轻过拟合（因此有时候使用BN后，dropout显得没那么必要使用）。由于Batch Normalization是基于一个 mini batch的，因此在训练时，神经网络对一个样本的预测不仅和该样本自身相关，也和同一批次中的其他样本相关，这种选取批次的随机性，使得神经网络不会“过拟合”到某个特定样本，从而提高网络的泛化能力。

总而言之，Batch Normalization 的优点如下³：

• 不那么依赖初始值（对于初始值不用那么神经质）。
• 可以使学习快速进行（可以增大学习率）。
• 抑制过拟合（降低Dropout等的必要性）。

二、具体步骤

batch normalization本质是对不同样本的同一特征做标准化。

1、训练阶段

  在训练时，Batch Normalization会逐步对每个mini-batch进行归一化。具体步骤如下：

设一个mini-batch中有 $m$ 个输入数据，记为集合 B = { x 1 , x 2 , ⋯   , x m } B=\{x_1,x_2,\cdots,x_m\} B={x1​,x2​,⋯,xm​}，对该集合求均值 ${\mu }_B$ 和方差 ${\sigma }_B^2$ ：
$$\begin{array}{r}{\mu }_B\leftarrow \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i\end{array}$$

$$\begin{array}{r}{\sigma }_B^2\leftarrow \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_i-{\mu }_B{)}^2\end{array}$$
接下来利用求得的均值和方差对输入数据进行归一化：
$${\hat{x}}_i\leftarrow \frac{x_i-{\mu }_B}{\sqrt{{\sigma }_B^2+\epsilon }}$$
其中 $\epsilon$ 是一个微小值（如 $10e^{-7}$ 等），以防止出现除以0的情况。

于是便可以将输入数据转换为均值为0，方差为1的数据 { x ^ 1 , x ^ 2 , ⋯   , x ^ m } \left\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,\cdots,\hat{x}_m\right\} {x^1​,x^2​,⋯,x^m​} 了。

  为了使得归一化不对网络的表示能力造成负面影响，再通过一个附加的缩放和平移变换改变新数据的取值区间（虽然归一化加快了训练速度和稳定性，但它改变了数据的原始分布。对于某些任务来说，直接使用归一化的数据可能会限制模型的表达能力，因此引入可以学习的超参数 $\gamma$ 和 $\beta$ ，使得模型可以灵活地调整归一化后的数据分布，恢复其自由度）：
$$y_i\leftarrow \gamma {\hat{x}}_i+\beta$$

最后把上述所有处理插入到激活函数的前面即可（整个过程相当于一个BatchNorm层），示意图如下：

示意图二（其中 $W$ 是全连接层，$\hat{\mathcal{L}}$ 是损失函数）⁴：

2、预测阶段

  在训练过程中，我们无法得知整个数据集来估计平均值和方差，所以只能根据每个小批次（mini-batch）的平均值和方差不断训练模型。 而在预测模式下，一般使用整个预测数据集的均值和方差（因为这时候已经经过完整的训练了，因此可以得知全局信息）。为了节省存储资源，实际中大多采用**移动平均（moving average）**的方式来计算全局的均值和方差。移动平均的计算过程如下式所示：
$$\begin{array}{rl}{\mu }_{total}& =\lambda \ast {\mu }_{total}+(1-\lambda )\ast {\mu }_{\mathcal{B}}\\ {\sigma }_{total}^2& =\lambda \ast {\sigma }_{total}^2+(1-\lambda )\ast {\sigma }_{\mathcal{B}}^2\end{array}$$

三、关键代码实现

以动手学深度学习第二版⁵的代码为例（Pytorch）：

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l


def batch_norm(X, gamma, beta, moving_mean, moving_var, eps, momentum):
    # 通过is_grad_enabled来判断当前模式是训练模式还是预测模式
    if not torch.is_grad_enabled():
        # 如果是在预测模式下，直接使用传入的移动平均所得的均值和方差
        X_hat = (X - moving_mean) / torch.sqrt(moving_var + eps)
    else:
        assert len(X.shape) in (2, 4)
        if len(X.shape) == 2:
            # 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差
            mean = X.mean(dim=0)
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)
        else:
            # 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。
            # 这里我们需要保持X的形状以便后面可以做广播运算
            mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
        # 训练模式下，用当前的均值和方差做标准化
        X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps)
        # 更新移动平均的均值和方差
        moving_mean = momentum * moving_mean + (1.0 - momentum) * mean
        moving_var = momentum * moving_var + (1.0 - momentum) * var
    Y = gamma * X_hat + beta  # 缩放和移位
    return Y, moving_mean.data, moving_var.data

解释几个可能的疑惑点：

为什么分为全连接层和卷积层两种情况？

  全连接层和卷积层比较典型，它们的批量规范化实现略有不同：当作用在全连接层时，实际上是作用在特征维；当作用在卷积层上时，实际上是作用在通道维（将通道维当成是卷积层的特征维）。

为什么作用在通道维？因为每个通道都有自己的拉伸参数和偏移参数，并且都是标量。例如下图⁶所示：

上图各颜色通道中的像素值通常具有不同的分布和范围，这种不一致性可能会导致训练出错或网络不收敛等问题。因此需要通过Normalize操作，将每个通道的像素值标准化为均值为0、标准差为1的分布，使得所有通道的像素值范围和分布一致。（因此假如扩展到n维张量，你也只需对通道维求均值即可）

为什么全连接层设置 dim=0，而卷积层设置 dim=(0,2,3) ？

  全连接层是二维的，即(batch_size, feature) ，计算全连接层时，计算的是特征维的均值和方差，而每个行代表一个样本，每列代表一个特征。

dim=0 和 dim=1 的含义：

• dim=0 表示沿着 “行” 的方向进行操作（也就是跨样本的操作），即对每个特征维的所有样本值进行聚合计算，比如求均值、方差等。
• dim=1 表示沿着 “列” 的方向进行操作（也就是跨特征的操作），即对每个样本的所有特征值聚合计算。

下图重量/甜度/颜色评分为苹果的特征维，我们来计算特征维的均值：

苹果编号	重量（克）	甜度（°Bx）	颜色评分（1 - 10）
苹果 1	200	12	7
苹果 2	180	10	6
苹果 3	220	14	8

dim=0代表行，dim=1代表列，既然我们要求特征维的均值，那么需要让 dim=0 ，也就是沿着行的方向“拍扁”。上图沿着行方向“拍扁”后得到的特征维的均值如下：

计算结果
重量：(200 + 180 + 220) / 3 = 200
甜度：(12 + 10 + 14) / 3 = 12
颜色评分： (7 + 6 + 8) / 3 = 7

那么卷积层 (batch_size, channels, height, width)设dim=(0,2,3)也很好理解了，我们需要得到通道维的均值，那么就得把其它几个维都“拍扁”。

为什么全连接层无需设置keepdim=True 而卷积层需设置keepdim=True？

  由于pytorch的广播机制，只会从左边补1，换个说法即只会补齐最外层的维度，因此前者无需设置而后者需设置keepdim=True来保证广播机制的正常启动。

有点抽象，举例子说明：

# 构造一个形状为 (2, 3, 4, 5, 6) 的五维张量
A = torch.randn(2, 3, 4, 5, 6)

# 打印张量 A 的形状
print("张量 A 的形状:", A.shape)

# 构造一个形状为 (3, 4, 5, 6) 的四维张量
B = torch.randn(3, 4, 5, 6)
print("张量 B 的形状:", B.shape)

try:
    # 尝试执行 A + B
    A + B
    print("可以成功输出")
except Exception as e:
    # 如果发生异常，打印失败信息
    print("失败输出:", e)

输出结果为：

张量 A 的形状: torch.Size([2, 3, 4, 5, 6])
张量 B 的形状: torch.Size([3, 4, 5, 6])
可以成功输出

因为广播机制会让B的维度补齐成(1,3,4,5,6)，也就是最左边补“1”，于是就可以执行 A+B操作了。

而如下情况，即仅仅稍微改变一下B的形状：

# 构造一个形状为 (2, 3, 4, 5, 6) 的五维张量
A = torch.randn(2, 3, 4, 5, 6)

# 打印张量 A 的形状
print("张量 A 的形状:", A.shape)

# 构造一个形状为 (2, 3, 4, 5) 的四维张量
B = torch.randn(2, 3, 4, 5)
print("张量 B 的形状:", B.shape)

try:
    # 尝试执行 A + B
    A + B
    print("可以成功输出")
except Exception as e:
    # 如果发生异常，打印失败信息
    print("失败输出:", e)

输出结果为：

张量 A 的形状: torch.Size([2, 3, 4, 5, 6])
张量 B 的形状: torch.Size([2, 3, 4, 5])
失败输出: The size of tensor a (6) must match the size of tensor b (5) at non-singleton dimension 4

因为广播机制只会往最左边补“1”，而这里B补“1”后形状变成(1,2,3,4,5)，依旧和张量A的形状不一致，所以不能做相加操作。

回到 Batch-Normalization 的代码：

 if len(X.shape) == 2:
            # 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差
            mean = X.mean(dim=0)
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)
        else:
            # 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。
            # 这里我们需要保持X的形状以便后面可以做广播运算
            mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)

我们知道， dim等于哪个维，就是将那个维进行“拍扁”。

对于全连接层(batch_size, feature)，设置 dim=0时，相当于将第 0 维“拍扁”，拍扁了相当于那个维直接“消失”了，此时mean和var的形状为(feature)。于是直接可以通过广播机制，在最左边补“1”，变成(1, feature)，便可以和变量 X 一起计算了【X的形状(batch_size, feature)】。

而卷积层 (batch_size, channels, height, width)设dim=(0,2,3)时，相当于将第 0,2,3 维“拍扁”，此时mean和var的形状为(channels)，而 X 的形状是 (batch_size, channels, height, width)，你得将mean和var的形状扩展到和 X 一致才可以进行计算，而广播机制只能往最左边补“1”，因此(channels)无法扩展成和X一致的形状，顶多扩展成(1, channels)，所以无法和 X 进行计算，程序报错。

因此需要对卷积层使用 keepdim=True这个参数，这样mean和var的形状就可以扩展成 (1, channels, 1, 1)，与X一致，才能进行接下来的计算。

if not torch.is_grad_enabled() 为什么可以判断是训练还是预测模式？

  反向传播时会涉及梯度的计算，而只有训练时才会进行反向传播，因此可以通过是否进行梯度的计算来判断训练模式还是预测模式。

四、补充

  原论文中提出Batch-Normalization的优点是减少了内部协变量转移（internal covariate shift，简单来说就是变量值的分布在训练过程中会发生变化，但是这种解释在后续论文被证实比较不严谨，发现它并没有减少内部协变量的转移 [Santurkar et al.,2018]。

五、参考文献

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1. Ioffe S. Batch normalization: Accelerating deep network training by reducing internal covariate shift[J]. arXiv preprint arXiv:1502.03167, 2015. ↩︎

2. 王琦, 杨毅远, 江季, 深度学习详解, 北京:人民邮电出版社, 2024 ↩︎

3. （日）斋藤康毅著, 陆宇杰译, 深度学习入门基于Python的理论与实现, 北京:人民邮电出版社, 2018.07 ↩︎

4. Santurkar S, Tsipras D, Ilyas A, et al. How does batch normalization help optimization?[J]. Advances in neural information processing systems, 2018, 31. ↩︎

5. 阿斯顿·张（Aston Zhang）, 李沐（Mu Li）, [美] 扎卡里·C. 立顿（Zachary C. Lipton）, 等. 动手学深度学习（PyTorch版）[M]. 第二版. 人民邮电出版社, 2023-2. ↩︎

6. 【Batch Normalization】 https://www.bilibili.com/video/BV11s4y1c7pg/?share_source=copy_web&vd_source=199a3f4e3a9db6061e1523e94505165a ↩︎