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Scaling Laws (缩放法则) 是大模型领域中，用于描述 模型性能(Loss) 与 模型规模N、数据量D、计算资源C 之间关系的经验规律，揭示在大模型中，随着模型参数数量、数据集大小和计算资源的增加，模型性能的变化模式，指导更高效地分配资源，优化模型训练过程，实现更好的性能。这些规律不仅有助于预测不同规模模型的表现，还能为模型设计和训练提供理论依据，是推动大模型发展和应用的重要理论基础。

在 PLM 的迁移学习中，预训练 CLM 迁移至 MLM，通过 迁移缩放法则(Transfer Scaling Laws)，合理的分配训练资源，以达到性能最优。同时验证，混合训练(Mixing Training) CLM 与 MLM，不如从零开始训练。

系列文章：

1. 大模型 ScallingLaws 的 C=6ND 公式推导
2. 大模型 ScallingLaws 的 CLM 和 MLM 中不同系数
3. 大模型 ScallingLaws 的迁移学习与混合训练

1. 从零开始与迁移学习

迁移缩放法则(Transfer Scaling Laws)：预训练 MLM，迁移至 CLM，随着模型规模增大，收益递减；预训练 CLM，迁移至 MLM，随着模型规模增大，收益增加。不同 FLOPs 下 CLM 和 MLM 的损失(Loss)曲线，表明迁移策略的 有效前沿(Efficiency Frontiers)，或 帕累托前沿(Pareto Frontier) 。如图：

同时训练多个目标时，可能存促进或干扰，即 协同效应 问题，训练顺序也是关键因素，先训练 CLM 再训练 MLM，效果影响较大，反之，效果影响较小。

从零开始训练(Training from Scratch) $L(C_s)$ 与 迁移学习(Transfer Learning) $L(C_t)$ 的 Loss 与 C 的法则：

$$L(C_s)=a_s\times C_s^{{\alpha }_s}，L(C_t)=a_t\times C_t^{{\alpha }_t}$$

计算量与 Loss 的相关参数：

例如，以 CLM 的计算量 $1\times 10^{21}$ 为例，从头开始训练(CLM)的 Loss 与 迁移学习(MLM to CLM)的 Loss，即：

$$\begin{gathered} L(C_s)=8.251\times (1\times 10^{21}{)}^{-0.027}=2.2362 \\ L(C_t)=7.191\times (1\times 10^{21}{)}^{-0.024}=2.2531 \\ L(C_s)=8.251\times (3\times 10^{19}{)}^{-0.027}=2.4582 \\ L(C_t)=7.191\times (3\times 10^{19}{)}^{-0.024}=2.4507 \end{gathered}$$

例如，以 MLM 的计算量 $1\times 10^{21}$ 为例，从头开始训练(MLM)的 Loss 与 迁移学习(CLM to MLM)的 Loss，即：

$$\begin{gathered} L(C_s)=10.125\times (1\times 10^{21}{)}^{-0.034}=1.9561 \\ L(C_t)=11.133\times (1\times 10^{21}{)}^{-0.038}=1.7726 \end{gathered}$$

因此，推导出 MLM 从零开始训练 $C_s$ 与 从 CLM 迁移学习 $C_t$ 的达到最优 Loss 所需计算量的比例：

$$C_t\propto C_s^{\frac{{\alpha }_s}{{\alpha }_t}}=C_s^{\frac{-0.034}{-0.038}}=C_s^{0.894}$$

因此，最优的迁移学习策略：先使用 CLM 预训练，然后再训练 MLM。同时，CLM 与 MLM 的 混合训练(Mixing Training) 或改变训练顺序(即先 MLM 后 CLM)，都没有带来显著的益处。推测原因是， MLM 仅专注于恢复 被损坏(Mask) 的标记，不具有因果性，如果 MLM 以从左到右的方式，根据上文预测序列中间的片段，才可能加快训练速度。

关于 CLM 与 MLM 的 混合训练(Mixing Training) 目标的验证 Loss，在全部模型规模中，从零开始训练都比混合训练的验证损失更低，表明，混合训练不如针对每个单独目标的专门训练有效。参考：

2. CLM 迁移至 MLM 的 Tokens 比例

左侧：为 CLM 预训练分配的 % 计算量的有效困惑度，即，% 计算资源表示在 CLM 预训练，剩余计算资源在 MLM 微调。最优的 CLM 预训练 % 计算资源范围为 $[10,20]$，拟合的 $\frac{D_t}{D_t+D_f}$ 在最优损失范围内下降。

右侧：从零开始训练的模型(红色) 与 从预训练 CLM 微调的模型(绿色) 的验证 困惑度(PPL) 比较，表明从 CLM 微调在更少 Tokens 数量下，降低困惑度。

以模型规模 $N=85M$ 为例，通过之前的公式，合理计算模型的计算量 $C=3\times 10^{19}$，即：

$$\begin{array}{rl}{C}_{CLM}(N)& =(\frac{N}{1.26\ast 10^{-3}}{)}^{\frac{1}{0.578}}\\ C_{CLM}(85\times 1024^2)& =(\frac{85\times 1024^2}{1.26\times 10^{-3}}{)}^{\frac{1}{0.578}}\\ & =0.6\times 10^{19}\\ C_{MLM}(N)& =(\frac{N}{6.19\times 10^{-8}}{)}^{\frac{1}{0.776}}\\ C_{MLM}(85\times 1024^2)& =(\frac{85\times 1024^2}{6.19\times 10^{-8}}{)}^{\frac{1}{0.776}}\\ & =3.4\times 10^{19}\end{array}$$

合理数据量 $D=63.58\times 10^9$ 是：

$$\begin{array}{r}D=\frac{C}{6N}=\frac{3.4\times 10^{19}}{6\times 85\times 1024^2}=63.58\times 10^9=60B\end{array}$$

其中，$D_t$ 表示 CLM 预训练的 Tokens 数量，$D_f$ 表示 MLM 微调的 Tokens 数量，全部数据量即 $D_t+D_f$ 。

有效转移标记(Effectively Transferred Tokens, ETT)： $D_t$ 是模型规模相同，在 MLM 上从零开始训练，以达到与在 CLM 上预训练的模型，相同损失所需的额外数据。如果预训练的 CLM 模型中的标记数量超过 $D_t$ ，那么 CLM 预训练的计算就是多余的。如果能提前知道 $D_t$ ，可以指导 CLM 预训练的标记分配。

迁移缩放法则(Transfer Scaling Laws)，以模型规模 $N=85M$ ，微调数据 $D_f=48B$ 为例，计算预训练 $D_t=8.57B$，占比约 14.28%，属于 [10, 20] 之间，符合法则：

$$\begin{array}{rl}{D}_t& =k\times \frac{1}{D_f^{\alpha }}\times \frac{1}{N^{\beta }}\\ & =3.65\times 10^5\times \frac{1}{D_f^{-0.137}}\times \frac{1}{N^{-0.369}}\\ D_t& =3.65\times 10^5\times \frac{1}{(48\times 1024^3{)}^{-0.137}}\times \frac{1}{(85\times 1024^2{)}^{-0.369}}\\ & =9.2\times 10^9\approx 8.57B<12B\end{array}$$