python使用筛法找100以内的素数

news2025/1/14 8:53:15

以下是使用 埃拉托色尼筛法 找出 100 以内所有素数的 Python 实现代码：

def sieve_of_eratosthenes(n):
    # 创建一个布尔列表，初始值为True
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False  # 0 和 1 不是素数

    # 从2开始标记其倍数为非素数
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            # 将i的倍数标记为非素数
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False

    # 返回所有素数
    return [x for x in range(n + 1) if is_prime[x]]


# 找出100以内的所有素数
primes = sieve_of_eratosthenes(100)
print("100以内的素数:", primes)

输出结果

运行上面的代码后，你将得到以下输出：

100以内的素数: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

代码说明

布尔列表 is_prime：用来标记每个数字是否为素数，初始值为 True。
标记非素数：从 2 开始，将所有 i 的倍数标记为 False。
优化：从 i^2 开始标记，因为比 i 小的倍数在之前已经被标记过。
结果生成：遍历布尔列表，返回所有值为 True 的索引。

这种算法在范围较大的情况下也非常高效。

埃拉托色尼筛法的时间复杂度和空间复杂度分析

时间复杂度

对于每个素数 ( p )，我们将从 ( p^2 ) 开始，标记它的所有倍数为非素数。
标记的次数可以用以下公式估算：
[
\text{总操作次数} = n \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots \right)
]
这里的分母是素数的倒数。这个和可以近似为：
[
n \times (\text{自然对数ln}(\ln(n)))
]
所以，埃拉托色尼筛法的 时间复杂度为 ( O(n \log(\log(n))) )。

空间复杂度

主体的数据结构是一个布尔数组，大小为 ( n+1 )。
因此，埃拉托色尼筛法的 空间复杂度为 ( O(n) )。

总结

时间复杂度：( O(n \log(\log(n))) )
空间复杂度：( O(n) )

对于范围较大的素数筛选，这种方法在效率和空间占用上具有很好的平衡。

将埃拉托色尼筛法与传统的遍历算法（检查每个数是否是素数）对比，可以从 时间复杂度 和 空间复杂度 两个角度分析：

传统遍历算法

算法步骤：

遍历从 ( 2 ) 到 ( n ) 的所有数。
对于每个数 ( x )，判断是否能被小于等于 ( \sqrt{x} ) 的数整除。
如果 ( x ) 不能被任何数整除，则它是素数。

时间复杂度

判断一个数是否是素数需要最多 ( O(\sqrt{n}) ) 的时间。
遍历 ( n ) 个数，因此总时间复杂度为：
[
O(n \sqrt{n})
]
对比埃拉托色尼筛法 ( O(n \log(\log(n))) )，传统遍历算法的效率低得多。

空间复杂度

传统遍历算法只需常量空间来存储当前数和可能的因子，因此空间复杂度为：
[
O(1)
]
这比埃拉托色尼筛法 ( O(n) ) 更节省空间。

埃拉托色尼筛法

时间复杂度：
[
O(n \log(\log(n)))
]
埃拉托色尼筛法通过一次性标记非素数，避免了重复判断，因此对于大范围的素数查找更高效。

空间复杂度：
[
O(n)
]
需要一个布尔数组来存储每个数是否为素数。

对比总结

算法	时间复杂度	空间复杂度	优缺点
传统遍历算法	( O(n \sqrt{n}) )	( O(1) )	适用于小范围的素数判断，空间占用小，但时间复杂度高，效率低。
埃拉托色尼筛法	( O(n \log(\log(n))) )	( O(n) )	适用于大范围的素数查找，时间复杂度低，效率高，但需要额外的存储空间。