线性二次调节器（LQR） 是一种经典的最优控制方法，用于求解线性系统的状态反馈控制问题。其目标是在满足动态约束的前提下，通过设计状态反馈控制器，使系统的性能指标达到最优。

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1. LQR的定义与目标

LQR主要解决以下问题：

• 系统的状态描述为线性动态系统：
  $$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$
  其中：

  • $x(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 是系统状态向量；
  • $u(t)\in {\mathbb{R}}^m$ 是控制输入；
  • $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是状态矩阵；
  • $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ 是控制矩阵。

• 设计一个控制律 $u(t)=-Kx(t)$，其中 $K$ 是控制增益矩阵，使以下性能指标 $J$ 最小化：
  $$J={\int }_0^{\infty }\left(x(t{)}^{T}Qx(t)+u(t{)}^{T}Ru(t)\right)dt$$
  其中：

  • $Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是对状态 $x(t)$ 的加权矩阵（正定或半正定）；
  • $R\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ 是对控制输入 $u(t)$ 的加权矩阵（正定）。

2. LQR的原理

性能指标 $J$

性能指标 $J$ 的物理意义是权衡系统偏离零状态（通过 $x(t{)}^{T}Qx(t)$）和控制能量消耗（通过 $u(t{)}^{T}Ru(t)$）的代价。设计 $Q$ 和 $R$ 时：

• 较大的 $Q$ 强调减少状态偏离；
• 较大的 $R$ 强调控制能量的节省。

最优解的计算

LQR 的核心是通过Riccati方程计算最优状态反馈增益矩阵 $K$。具体步骤如下：

1. 计算解 Riccati 方程的对称正定矩阵 $P$：
   $$A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=0$$
   这是一个连续时间代数 Riccati 方程（CARE）。
2. 利用 $P$ 计算反馈增益矩阵：
   $$K=R^{-1}{B}^{T}P$$

控制律

最优控制律为：
$$u(t)=-Kx(t)$$

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3. LQR的性质

• 稳定性：如果 $Q$ 和 $R$ 正定，LQR 控制器设计的闭环系统是渐进稳定的。
• 鲁棒性：LQR 对模型的参数扰动具有一定的鲁棒性，但仅限于小扰动。
• 灵活性：通过调整 $Q$ 和 $R$，可以改变状态和控制能量之间的权衡。

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4. 举例说明

问题描述

一个简单的二阶质量-弹簧-阻尼系统：
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F$$
将其转换为状态空间形式：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{m}& -\frac{c}{m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{m}\end{array}\right]u$$
其中：

• $x_1=x$ 是位移；
• $x_2=\dot{x}$ 是速度；
• $u=F$ 是控制输入。

设参数为：

• $m=1$ kg；
• $c=0.5$ Ns/m；
• $k=2$ N/m；
• $Q=\text{diag}(1,1)$；
• $R=0.1$。

解步骤

1. 确定状态矩阵 $A$ 和控制矩阵 $B$：
   $$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -0.5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

2. 解 Riccati 方程，得到 $P$：
   $$P=\left[\begin{array}{cc}2.236& 1.118\\ 1.118& 2.618\end{array}\right]$$

3. 计算最优增益矩阵 $K$：
   $$K=R^{-1}{B}^{T}P=\left[\begin{array}{cc}4.472& 3.618\end{array}\right]$$

4. 最优控制律：
   $$u(t)=-Kx(t)=-[4.4723.618]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$

仿真结果

在闭环控制下，系统状态 $x(t)$ 会快速趋于零，同时控制输入 $u(t)$ 保持较小，体现了状态偏差和控制能量的优化。

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5. 实际应用

1. 航天器姿态控制：
   LQR 用于最优设计航天器的姿态调节控制器，确保姿态调整时能量最低。

2. 机器人控制：
   在机器人路径跟踪中，LQR 用于控制机器人的位置和速度。

3. 车辆动力学控制：
   在自动驾驶系统中，LQR 常用于轨迹跟踪问题，设计车辆的方向和速度控制。

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总结

LQR 是一种功能强大且理论完善的最优控制方法，通过解决 Riccati 方程和设计反馈增益矩阵，能够为线性系统提供稳定且高效的控制策略。它的应用遍及多个工程领域，是现代控制理论的重要组成部分。