高等数学学习笔记 ☞ 单调性、凸凹性、极值、最值、曲率

1. 单调性

1. 单调性定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，对于区间 $I$ 上任意两点 $x_{1},x_{2}$ ，若：

①：当 $x_{1}<x_{2}$ 时，恒有 $f(x_{1}) < f(x_{2})$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增。

②：当 $x_{1}<x_{2}$ 时，恒有 $f(x_{1}) > f(x_{2})$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减。

简记：同增异减。

2. 单调性判定方法：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，若在区间 $I$ 上：

①： ${f}'(x) >0$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增。

②： ${f}'(x)<0$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减。

3. 常见误区点：

（1）已知函数 $f(x)=x^{3}$ ，那么其导数为 ${f}'(x)=3x^{2}$ 。

当 $x=0$ 时， ${f}'(0)=0$ ；当 $x\neq 0$ 时， ${f}'(x)=3x^{2}> 0$ 。

此时函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 是单调递增的。

说明：函数在区间上有限个点的导数为零，是不影响函数整体单调性的，故写区间时不需要纠结有限的点。

（2）已知函数 $f(x)=e^{x}-x$ ，那么其导数为 ${f}'(x)=e^{x}-1$ 。

当 ${f}'(x) = e^{x}-1>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 是单调递增的。

当 ${f}'(x) = e^{x}-1<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0 )$ 是单调递减的。

说明：函数的单调性研究的是区间上的单调性，单独的点不具备单调性的定义，所以写区间时包不包含该点都一样。

但当某个点是使得函数没有意义的点，那肯定就不能包含了。

（3）已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ ，则：

在 $(0,+\infty )$ 是单调递减的，在 $(-\infty,0 )$ 是单调递减的。

此时函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0 )$ ， $(0,+\infty )$ 是单调递减的。

说明：写区间时应该写成 $(-\infty,0 )$ ， $(0,+\infty )$ ，而不能写成 $(-\infty,0 )\cup (0,+\infty )$ ，因为这样写不满足单调性的定义，即：

当 $x_{1}<x_{2}$ 时，无法保证 $f(x_{1}) > f(x_{2})$ ，所以此时的单调区间不能写成这种集合的形式。

4. 单调性求解过程：

第一步：确认函数 $f(x)$ 的定义域，并求解函数 $f(x)$ 的一阶导；

第二步：求解令 ${f}'(x)=0$ 的点(驻点)；

第三步：判断 ${f}'(x)$ 在上述点两侧的正负情况，画表进行单调性确认。

备注：表格形式如下所示：

$x$ $(-\infty ,-1)$ $-1$ $(1,1)$ $1$ $(1,+\infty )$
${f}'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增单调递减单调递增

2. 凸凹性

1. 凸凹性定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，对于区间 $I$ 上任意两点 $x_{1},x_{2}$ ，若：

①： $f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})>\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是凸函数。

②： $f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是凹函数。

说明：函数的凸凹性是相对来说的，不同的书对凸凹性的定义可能是相反的。

2. 凸凹性判定方法：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内一阶、二阶可导，则：

①：若 ${f}''(x)<0$ ，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是凸函数。

②：若 ${f}''(x)>0$ ，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是凹函数。

简记：正凹负凸。

3. 常见误区点：举例说明：已知函数 $f(x)=x^{3}$ ，那么其导数为 ${f}''(x)=6x$ 。

当 $x=0$ 时， ${f}''(0)=0$ ；当 $x> 0$ 时， ${f}''(x)> 0$ ；当 $x< 0$ 时， ${f}''(x)< 0$ 。

此时函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0 )$ 是凸函数， $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 是凹函数。

说明：

①：函数在区间上有限个点的二阶导数为零，是不影响整体函数的凸凹性的，故写区间时不需要考虑有限的点。

②：函数的凸凹性研究的是区间上的凸凹性，单独的点不具备凸凹性的定义，所以写区间时是否包含该点都一样。

但当某个点是使得函数没有意义的点，那肯定就不能包含了。

4. 拐点：已知函数 $f(x)$ ，若函数 $f(x)$ 的图像过某点时，函数 $f(x)$ 的凸凹性发生改变，那么该点称为函数 $f(x)$ 的拐点。

说明：

①：拐点是一个二维的点 $(x_{0},f(x_{0}))$ ，且该点在函数 $f(x)$ 的图像上。

②：函数 $f(x)$ 是可以不存在拐点的，但依然可以具备凸凹性，如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 。

5. 拐点求解过程：

第一步：确认函数 $f(x)$ 的定义域，并求解函数 $f(x)$ 的一阶导和二阶导；

第二步：求解令 ${f}''(x)=0$ 的点以及令 ${f}''(x)$ 的不可导点；

第三步：判断 ${f}''(x)$ 在上述点两侧的正负情况，画表进行拐点确认。

备注：表格形式如下所示：

$x$ $(-\infty ,-1)$ $-1$ $(-1,1)$ $1$ $(1,2)$ $2$ $(2,+\infty )$
${f}''(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $-$ 不存在 $+$
$f(x)$ 凹函数拐点 $(-1,f(-1))$ 凸函数不是拐点凸函数拐点 $(2,f(2))$ 凹函数

3. 极值

1. 极值与极值点：极大值(点)与极小值(点)

（1）极大值：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域内有定义，若在 $x_{0}$ 的去心邻域内有 $f(x)<f(x_{0})$ ，则称 $f(x_{0})$ 是函数 $f(x)$ 的极大值。

（2）极小值：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域内有定义，若在 $x_{0}$ 的去心邻域内有 $f(x)>f(x_{0})$ ，则称 $f(x_{0})$ 是函数 $f(x)$ 的极小值。

（3）极大值点：函数 $f(x)$ 取得极大值时所对应的点 $x_{0}$ ，称为极大值点。

（4）极小值点：函数 $f(x)$ 取得极小值时所对应的点 $x_{0}$ ，称为极小值点。

说明：

①：极大值或极小值的定义具有局部性，仅在点 $x_{0}$ 的邻域内生效。

②：函数 $f(x)$ 的极大值与极小值是可以不存在的。

③：若函数 $f(x)$ 的极大值与极小值存在，那么在整个定义域内极大值与极小值不是唯一的。

④：若函数 $f(x)$ 的极大值与极小值存在，那么在整个定义域内极大值与极小值的大小关系是不确定的。

⑤：若函数 $f(x)$ 的极大值与极小值存在，那么在整个定义域内极大值点与极小值点不是唯一的。

2. 极大值(点)与极小值(点)的判定：

（1）必要条件：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且可以取到极值，则 ${f}'(x_{0})=0$ 。(反过来不成立，需要进一步讨论)

备注：极值点包含两类：驻点，不可导点。

（2）第一充分条件：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，且在点 $x_{0}$ 的去心邻域内可导，

①：当 $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})$ 时，有 ${f}'(x)>0$ ；当 $x\in (x_{0} ,x_{0}+\delta)$ 时，有 ${f}'(x)<0$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值。

②：当 $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})$ 时，有 ${f}'(x)<0$ ；当 $x\in (x_{0} ,x_{0}+\delta)$ 时，有 ${f}'(x)>0$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值。

③：若在点 $x_{0}$ 的去心邻域内， ${f}'(x)$ 的符号不变，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取不到极值。

备注：极值(点)求解过程：

第一步：确认函数 $f(x)$ 的定义域，并求解函数 $f(x)$ 的一阶导；

第二步：求解令 ${f}'(x)=0$ 的点(驻点)以及 ${f}'(x)$ 的不可导点；

第三步：判断 ${f}'(x)$ 在上述点两侧的正负情况，画表进行极大值(点)、极点值(点)确认。表格形式如下所示：

$x$ $(-\infty ,-1)$ $-1$ $(-1,1)$ $1$ $(1,2 )$ $2$ $(2,+\infty )$
${f}'(x)$ $+$ 不存在 $-$ $0$ $+$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增无极值单调递增

（3）第二充分条件：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处二阶可导，且 ${f}'(x_{0})=0,{f}''(x_{0})\neq 0$ ，则：

①：若 ${f}''(x_{0})<0$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值。

②：若 ${f}''(x_{0})>0$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值。

备注：不准确但便于记忆的理解方式：

①：当 ${f}''(x_{0})<0$ 时，为凸函数，又知 ${f}'(x_{0})=0$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值。

②：当 ${f}''(x_{0})>0$ 时，为凹函数，又知 ${f}'(x_{0})=0$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值。

说明：

①：一般不建议用第二充分条件求极值，比较麻烦。②：当 ${f}''(x_{0})=0$ 时，不能使用第二充分条件判断极大、小值(点)。

4. 最值

1. 最值与最值点：最大值(点)与最小值(点) $\rightarrow$ 高等数学学习笔记 ☞ 连续函数的运算与性质_连续性的四则运算法则-CSDN博客

备注：最值点包含三类：驻点，不可导点，区间端点。

2. 最值(点)求解过程：

第一步：确认函数 $f(x)$ 的定义域，并求解函数 $f(x)$ 的一阶导；

第二步：求解令 ${f}'(x)=0$ 的点(驻点)、 ${f}'(x)$ 的不可导点以及函数 $f(x)$ 的区间端点；

第三步：将上述点分别带入函数 $f(x)$ ，求解对应的函数值，然后找出最大值与最小值。

小贴士：

（1）驻点：令一阶导数为零的点。

（2）不可导点：函数导数不存在的点。共包含四种，分别为：

①：函数 $f(x)$ 没有定义的点，如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处。

②：函数 $f(x)$ 不连续的点，如分段函数 $f(x)=x(x<0),f(x)= e^{x}(x\geq 0)$ 在 $x=0$ 处。

③：函数 $f(x)$ 连续点，但是此点函数图像不光滑，为尖点，左右两边的斜率不一样，如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处。

④：有定义，连续、光滑，但是斜率是无穷大。如 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 在 $x=\pm r$ 处。

5. 曲率

1. 水平渐近线、垂直渐近线及斜渐近线：

（1）水平渐近线：若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=A$ 或 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A$ 或 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A$ ，则称 $y=A$ 为水平渐近线。

（2）垂直渐近线：若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-} }f(x)=\infty$ 或 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{+} }f(x)=\infty$ ，则称 $x=a$ 为垂直渐近线。

（3）斜渐近线：若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=k(k\neq 0)$ 且 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-kx)=b$ ，则称 $y=kx+b$ 为斜渐近线。

其中：上式中： $x\rightarrow \infty$ 可替换为 $x\rightarrow +\infty$ 或 $x\rightarrow -\infty$ 。

备注：

①：水平渐近线与 $x$ 轴平行，垂直渐近线与 $y$ 轴平行。

②：当水平渐进线与 $x$ 轴重合时，那么水平渐近线为 $y=0$ 这条直线，不能说成是 $x$ 轴。

③：当垂直渐进线与 $y$ 轴重合时，那么垂直渐近线为 $x=0$ 这条直线，不能说成是 $y$ 轴。

2. 曲率：

（1）含义：就是指曲线的弯曲程度。

（2）计算公式： $k=\frac{|{y}''|}{(1+({y}')^{2})^{\frac{3}{2}}}$ 。