https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray-with-equal-products/description/
以下是解决这道题的详细思路：
一、理解题目要求
- 题目给定一个由正整数组成的数组
nums，需要找出其中最长的“乘积等价子数组”的长度。 - 一个数组
arr被称为“乘积等价数组”，当且仅当prod(arr) == lcm(arr) * gcd(arr)，其中：prod(arr)表示arr中所有元素的乘积。gcd(arr)表示arr中所有元素的最大公因数（GCD）。lcm(arr)表示arr中所有元素的最小公倍数（LCM）。
- 子数组是数组中连续的、非空的元素序列。
二、解题方法
-
暴力解法（遍历所有子数组）
- 两层循环遍历数组
nums，外层循环i从0到nums.length - 1，表示子数组的起始位置。 - 内层循环
j从i到nums.length - 1，表示子数组的结束位置。 - 对于每个子数组
nums[i]到nums[j]，计算其prod（乘积）、gcd（最大公因数）和lcm（最小公倍数）。 - 判断是否满足
prod == lcm * gcd，如果满足，更新最长子数组的长度。 - 时间复杂度：
O
(
n
3
)
O(n^3)
O(n3)，其中
n是数组nums的长度。因为需要遍历所有可能的子数组，对于每个子数组又需要计算prod、gcd和lcm，计算gcd和lcm的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，所以总的时间复杂度较高。
- 两层循环遍历数组
-
优化解法（利用数学性质和滑动窗口）
- 首先，根据数学性质：对于两个数
a和b，有a * b = gcd(a, b) * lcm(a, b)。推广到多个数，如果一个子数组是“乘积等价子数组”，那么该子数组中任意两个数的乘积也等于它们的gcd和lcm的乘积。 - 基于此，我们可以使用滑动窗口的方法。
- 初始化两个指针
left和right都指向数组的起始位置0，以及一个变量maxLen用于记录最长子数组的长度，初始化为0。 - 移动
right指针，逐步扩大窗口。 - 在每次移动
right指针后，计算当前窗口内元素的prod、gcd和lcm。 - 如果满足
prod == lcm * gcd，则更新maxLen为max(maxLen, right - left + 1)，然后尝试移动left指针，缩小窗口，看是否能找到更长的满足条件的子数组。 - 如果不满足条件，则继续移动
right指针，扩大窗口。 - 时间复杂度：
O
(
n
)
O(n)
O(n)，因为每个元素最多被
left和right指针访问两次，计算gcd和lcm的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，但总体上时间复杂度得到了优化。
- 首先，根据数学性质：对于两个数
三、示例分析（以示例1为例）
- 输入
nums = [1,2,1,2,1,1,1]：- 从起始位置开始，逐步扩大窗口：
- 当窗口为
[1]时，prod = 1，gcd = 1，lcm = 1，满足条件，maxLen = 1。 - 当窗口为
[1,2]时，prod = 2，gcd = 1，lcm = 2，满足条件，maxLen = 2。 - 当窗口为
[1,2,1]时，prod = 2，gcd = 1，lcm = 2，满足条件，maxLen = 3。 - 当窗口为
[1,2,1,2]时，prod = 4，gcd = 1，lcm = 4，满足条件，maxLen = 4。 - 当窗口为
[1,2,1,2,1]时，prod = 4，gcd = 1，lcm = 4，满足条件，maxLen = 5。 - 继续移动
right指针，后续窗口都不满足条件，所以最终maxLen = 5，输出5。
综上所述，通过优化解法（滑动窗口）可以更高效地解决这道题，找到最长的“乘积等价子数组”的长度。
最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是两个数论中的重要概念，它们之间存在着密切的联系，具体如下：
一、基本定义
- 最大公约数：指两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如，12 和 18 的公约数有 1、2、3、6，其中最大公约数是 6。
- 最小公倍数：指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。例如，12 和 18 的公倍数有 36、72、108 等，其中最小公倍数是 36。
二、两者联系
- 数学公式关系：对于两个正整数 a a a 和 b b b，它们的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积，即 a × b = GCD ( a , b ) × LCM ( a , b ) a\times b = \text{GCD}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)。
例如，对于 4 和 6， 4 × 6 = 24 4\times6 = 24 4×6=24，4 和 6 的最大公约数是 2，最小公倍数是 12， 2 × 12 = 24 2\times12 = 24 2×12=24，满足上述公式。
三、实际应用中的体现
- 分数化简：在化简分数时，需要找到分子和分母的最大公约数，然后将分子分母同时除以最大公约数，得到最简分数。而最简分数的分母实际上就是原分子分母的最小公倍数的约数。例如，化简 12 18 \frac{12}{18} 1812，先求出 12 和 18 的最大公约数是 6，化简后为 2 3 \frac{2}{3} 32，3 是 12 和 18 的最小公倍数 36 的约数。
- 周期性问题：在一些具有周期性的问题中，最大公约数和最小公倍数也有重要应用。比如，有两个周期性事件，一个周期为 a a a 天，另一个周期为 b b b 天，那么它们同时发生的周期就是 a a a 和 b b b 的最小公倍数，而在这个周期内，它们共同发生的次数与最大公约数有关。
总之，最大公约数和最小公倍数相互关联，在数论、代数、实际生活中的很多问题解决中都起着关键作用，帮助我们更好地理解和处理整数之间的关系和运算。
class Solution {
public:
int maxLength(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int ret = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
unsigned long long prod = nums[i], l = nums[i], g = nums[i];
if (prod == l * g) {
ret = max(ret, 1);
}
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
prod *= nums[j];
if (prod > ULONG_LONG_MAX) {
break;
}
l = (l * nums[j]) / gcd(l, nums[j]);
g = gcd(g, nums[j]);
if (prod == l * g) {
ret = max(ret, j - i + 1);
}
}
}
return ret;
}
};
