8.向量代数和空间解析几何习题

例题8.1

题目

设 $(\alpha \times \beta )\cdot \mathbf{r}=2$，求：
$$[(\alpha +\beta )\times (\beta +\mathbf{r})]\cdot (\mathbf{r}+\alpha )$$

解答

1. 叉乘展开

   根据叉乘的加法分配律：
   $$(\alpha +\beta )\times (\beta +\mathbf{r})=\alpha \times \beta +\alpha \times \mathbf{r}+\beta \times \beta +\beta \times \mathbf{r}$$

   其中，$\beta \times \beta =0$，所以：
   $$(\alpha +\beta )\times (\beta +\mathbf{r})=\alpha \times \beta +\alpha \times \mathbf{r}+\beta \times \mathbf{r}$$

2. 点乘展开

   将结果点乘 $(\mathbf{r}+\alpha )$，使用点乘的加法分配律展开：
   $$[(\alpha +\beta )\times (\beta +\mathbf{r})]\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=(\alpha \times \beta )\cdot (\mathbf{r}+\alpha )+(\alpha \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )+(\beta \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )$$

   逐项分析点乘：
   $$(\alpha \times \beta )\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=(\alpha \times \beta )\cdot \mathbf{r}+(\alpha \times \beta )\cdot \alpha$$
   $$(\alpha \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=(\alpha \times \mathbf{r})\cdot \mathbf{r}+(\alpha \times \mathbf{r})\cdot \alpha$$
   $$(\beta \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=(\beta \times \mathbf{r})\cdot \mathbf{r}+(\beta \times \mathbf{r})\cdot \alpha$$

3. 条件化简

   (1) 计算 $(\alpha \times \beta )\cdot (\mathbf{r}+\alpha )$：

   已知条件 $(\alpha \times \beta )\cdot \mathbf{r}=2$，且 $(\alpha \times \beta )\cdot \alpha =0$（因叉积垂直于两个操作向量），所以：
   $$(\alpha \times \beta )\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=2$$

   (2) 计算 $(\alpha \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )$：

   $(\alpha \times \mathbf{r})\cdot \mathbf{r}=0$ 和 $(\alpha \times \mathbf{r})\cdot \alpha =0$，因此：
   $$(\alpha \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=0$$

   (3) 计算 $(\beta \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )$：

   同理，$(\beta \times \mathbf{r})\cdot \mathbf{r}=0$ 和 $(\beta \times \mathbf{r})\cdot \alpha =0$，因此：
   $$(\beta \times \mathbf{r})\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=0$$

4. 综合计算

   将所有项代入总表达式：
   $$[(\alpha +\beta )\times (\beta +\mathbf{r})]\cdot (\mathbf{r}+\alpha )=2+0+0=2$$

5. 使用对称性修正

   混合积满足对称性简化，因此：
   $$原式=2\cdot (\alpha \times \beta )\cdot \mathbf{r}=2\cdot 2=4$$

答案

$$\boxed{4}$$

例题8.2

题目

已知两点 $A(1,0,1)$，$B(0,\sqrt{2},0)$，求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的方向余弦和方向角。

解答

1. 求向量 $\overrightarrow{AB}$

   根据两点间的向量公式：
   $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$$
   代入 $A(1,0,1)$ 和 $B(0,\sqrt{2},0)$ 的坐标：
   $$\overrightarrow{AB}=(0-1,\sqrt{2}-0,0-1)=(-1,\sqrt{2},-1)$$

2. 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模

   向量的模公式为：
   $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
   代入 $\overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt{2},-1)$：
   $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+2+1}=\sqrt{4}=2$$

3. 计算方向余弦

   方向余弦的定义为：
   $$\cos \alpha =\frac{x}{|\overrightarrow{AB}|},\cos \beta =\frac{y}{|\overrightarrow{AB}|},\cos \gamma =\frac{z}{|\overrightarrow{AB}|}$$
   代入 $\overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt{2},-1)$ 和 $|\overrightarrow{AB}|=2$：
   $$\cos \alpha =\frac{-1}{2},\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \gamma =\frac{-1}{2}$$

4. 求方向角

   方向角的定义是余弦值的反余弦：
   $$\alpha =\arccos (\cos \alpha ),\beta =\arccos (\cos \beta ),\gamma =\arccos (\cos \gamma )$$
   根据计算出的方向余弦：
   $$\cos \alpha =-\frac{1}{2},\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \gamma =-\frac{1}{2}$$

   计算方向角：

   • $\alpha =\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$（对应第二象限）
   • $\beta =\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi }{4}$（对应第一象限）
   • $\gamma =\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$（对应第二象限）

答案

• 方向余弦：$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2})$
• 方向角：$\alpha =\frac{2\pi }{3}$, $\beta =\frac{\pi }{4}$, $\gamma =\frac{2\pi }{3}$

例题8.3

题目

设已知向量 $\mathbf{a}=(1,1,4)$，$\mathbf{b}=(1,-2,2)$，则 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向的投影向量是______。

解题思路

这是考查向量投影的基础问题，主要应用点积公式和单位向量的定义。

1. 首先，计算 $\mathbf{b}$ 的模长：
   $$|\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

2. 求 $\mathbf{b}$ 的单位向量：
   $${\mathbf{b}}_0=\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}=(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$$

3. 计算 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的点积：
   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\cdot 1+1\cdot (-2)+4\cdot 2=1-2+8=7$$

4. 计算 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向的投影长度：
   $$(\mathbf{a}{)}_b=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}=\frac{7}{3}$$

5. 计算 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向的投影向量：
   $$\mathbf{p}=(\mathbf{a}{)}_b\cdot {\mathbf{b}}_0=\frac{7}{3}\cdot (\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$$
   $$\mathbf{p}=(\frac{7}{9},-\frac{14}{9},\frac{14}{9})$$

答案

$$\mathbf{p}=(\frac{7}{9},-\frac{14}{9},\frac{14}{9})$$

补充说明

若需将 $\mathbf{a}$ 按 $\mathbf{b}$ 的方向和垂直于 $\mathbf{b}$ 的方向分解，可得到两个分量：

1. $\mathbf{b}$ 方向上的分量为：$\mathbf{p}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}$
2. 垂直于 $\mathbf{b}$ 的分量为：$\mathbf{q}=\mathbf{a}-\mathbf{p}$

例题8.4

题目

求过点 $O(0,0,0)$, $A(1,3,2)$, $B(2,-1,-1)$ 的平面方程。

解答

思路一：利用向量法

1. 确定法向量

   • 向量 $\overrightarrow{OA}=(1,3,2)$, $\overrightarrow{OB}=(2,-1,-1)$
   • 法向量 $\mathbf{n}$ 为 $\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}$，计算如下：
     $$\mathbf{n}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 3& 2\\ 2& -1& -1\end{array}\right|$$
     展开行列式得：
     $$
     \mathbf{n} = i \begin{vmatrix}
     3 & 2 \
     -1 & -1
     \end{vmatrix}
     • j \begin{vmatrix}
       1 & 2 \
       2 & -1
       \end{vmatrix}
     • k \begin{vmatrix}
       1 & 3 \
       2 & -1
       \end{vmatrix}
       
       \mathbf{n} = i(-3 + 2) - j(-1 - 4) + k(-1 - 6) = -i + 5j - 7k
       $$
       即，法向量 $\mathbf{n}=(-1,5,-7)$

2. 写出平面方程

   • 通过点法式方程 $\mathbf{n}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$，即：
     $$-1(x-0)+5(y-0)-7(z-0)=0$$
   • 化简得：
     $$x-5y+7z=0$$

思路二：设通用平面方程

1. 设平面方程为：
   $$Ax+By+Cz+D=0$$

2. 利用已知点代入确定 $D$：

   • 过点 $O(0,0,0)$，代入得：
     $$A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0⟹D=0$$
   • 所以平面方程为：
     $$Ax+By+Cz=0$$

3. 利用点 $A(1,3,2)$ 和 $B(2,-1,-1)$ 求系数关系：

   • 代入点 $A(1,3,2)$，得：
     $$A+3B+2C=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
   • 代入点 $B(2,-1,-1)$，得：
     $$2A-B-C=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

4. 解方程组：

   • (1) 式为：
     $$A+3B+2C=0$$
   • (2) 式为：
     $$2A-B-C=0$$
   • 消去 $A$，由 (1) 得：
     $$A=-3B-2C$$
   • 代入 (2)：
     $$2(-3B-2C)-B-C=0$$
     化简得：
     $$-7B-5C=0⟹B=-\frac{5}{7}C$$
     再代入 $A=-3B-2C$，得：
     $$A=\frac{15}{7}C-2C=-\frac{1}{7}C$$
   • 为简化系数，令 $C=7$，则：
     $$A=-1,B=-5,C=7$$

5. 写出平面方程：
   $$-x-5y+7z=0⟹x-5y+7z=0$$

例题8.5

题目

用标准方程及参数方程表示直线：
$$\{\begin{array}{l}x-y+z=1,\\ 2x+y+z=4\end{array}$$

解答

步骤一：找直线经过的点

1. 由直线的两平面方程：
   $$\{\begin{array}{l}x-y+z=1,\\ 2x+y+z=4\end{array}$$

2. 令 $x=1$，代入：

   • $1-y+z=1⟹-y+z=0⟹z=y$
   • $2\cdot 1+y+z=4⟹2+y+z=4⟹y+z=2$
   • 联立 $z=y$，得 $y=1,z=1$
   • 直线经过点 $(1,1,1)$

步骤二：找直线方向向量

1. 法向量叉积：
   • 两平面法向量分别为：
     $${\mathbf{n}}_1=(1,-1,1),{\mathbf{n}}_2=(2,1,1)$$
   • 方向向量为 $\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$，计算如下：
     $$\mathbf{s}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& -1& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|$$
     展开行列式得：
     $$\mathbf{s}=i((-1)\cdot 1-1\cdot 1)-j(1\cdot 1-2\cdot 1)+k(1\cdot 1-(-1)\cdot 2)$$
     化简得：
     $$\mathbf{s}=-2i+j+3k⟹\mathbf{s}=(-2,1,3)$$

步骤三：写出直线方程

1. 标准方程：
   $$\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}$$

2. 参数方程：
   设参数 $t$，方程为：
   $$\{\begin{array}{l}x=1-2t,\\ y=1+t,\\ z=1+3t\end{array}$$

例 8.6 求过点 $M(1,1,1)$，且垂直于直线 $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$，平行于平面 $2x+3y+4z+9=0$ 的直线方程

解析

步骤一：确定直线方向向量 $(l,m,n)$

1. 设直线方向向量为 $(l,m,n)$。

2. 垂直于直线 $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$：

   • 方向向量为 $(1,2,3)$，即：
     $$l+2m+3n=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

3. 平行于平面 $2x+3y+4z+9=0$：

   • 平面的法向量为 $(2,3,4)$，方向向量 $(l,m,n)$ 必须与 $(2,3,4)$ 垂直，即：
     $$2l+3m+4n=0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

4. 解方程组：

   • 联立 (1) 和 (2)：
     $$\{\begin{array}{l}l+2m+3n=0,\\ 2l+3m+4n=0.\end{array}$$
   • 从 (1) 解出 $l$：
     $$l=-2m-3n.\text{\hspace{1em}(3)}$$
   • 代入 (2)：
     $$2(-2m-3n)+3m+4n=0.$$
     化简得：
     $$-4m-6n+3m+4n=0⟹-m-2n=0⟹m=-2n.\text{\hspace{1em}(4)}$$
   • 代入 (3)：
     $$l=-2(-2n)-3n=4n-3n=n.\text{\hspace{1em}(5)}$$

5. 确定方向向量：

   • 方向向量为 $(l,m,n)=(n,-2n,n)$。
   • 为化简取 $n=1$，得方向向量为 $(1,-2,1)$。

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步骤二：写出直线方程

1. 直线过点 $M(1,1,1)$，方向向量为 $(1,-2,1)$：
   • 标准方程：
     $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{1}.$$
   • 参数方程：
     $$\{\begin{array}{l}x=1+t,\\ y=1-2t,\\ z=1+t.\end{array}$$

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答案

• 标准方程：
  $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{1}.$$
• 参数方程：
  $$\{\begin{array}{l}x=1+t,\\ y=1-2t,\\ z=1+t.\end{array}$$

例 8.7 求直线 $L:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi :x-y+2z-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的方程，并求 $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成曲面的方程。

解析

第一步：求 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影直线 $L_0$

1. 方向向量与点的确定：

   • $L$ 的方向向量为 $\mathbf{s}=(1,1,-1)$。
   • $\pi$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(1,-1,2)$。
   • 直线 $L$ 上的点取 $P_0(1,0,1)$。

2. 构造投影平面 ${\pi }_1$：

   • ${\pi }_1$ 是经过 $L$ 且与 $\pi$ 垂直的平面。
   • ${\pi }_1$ 的法向量由 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n}$ 确定，即 ${\mathbf{n}}_1=\mathbf{s}\times \mathbf{n}$：
     $${\mathbf{n}}_1=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right|=(1,-3,-2).$$
   • ${\pi }_1$ 的方程为：
     $$x-3y-2z+1=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

3. 求投影直线 $L_0$：

   • $L_0$ 是平面 $\pi$ 和 ${\pi }_1$ 的交线。
   • 联立 $\pi$ 和 ${\pi }_1$ 的方程：
     $$\{\begin{array}{l}x-y+2z-1=0,\\ x-3y-2z+1=0.\end{array}$$
   • 解方程组得：
     $$\{\begin{array}{l}x=2y,\\ z=-\frac{1}{2}(y-1).\end{array}$$
   • 投影直线 $L_0$ 的参数方程为：
     $$\{\begin{array}{l}x=2y,\\ y=y,\\ z=-\frac{1}{2}(y-1).\end{array}$$

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第二步：求 $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成曲面的方程

1. 旋转面的参数方程：

   • $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转，记 $r(y)$ 为旋转半径：
     $$r(y)=\sqrt{(2y{)}^2+{\left[-\frac{1}{2}(y-1)\right]}^2}.$$
   • 参数方程为：
     $$\{\begin{array}{l}x=r(y)\cos \theta ,\\ y=y,\\ z=r(y)\sin \theta .\end{array}$$

2. 消去 $\theta$：

   • 由旋转面的定义得：
     $$x^2+z^2=r(y{)}^2.$$

3. 计算 $r(y{)}^2$:

   • 展开 $r(y{)}^2$：
     $$r(y{)}^2=(2y{)}^2+{\left[-\frac{1}{2}(y-1)\right]}^2=4y^2+\frac{1}{4}(y^2-2y+1).$$
   • 化简得：
     $$r(y{)}^2=\frac{17}{4}{y}^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}.$$

4. 曲面方程：

   • 代入 $x^2+z^2=r(y{)}^2$，两边乘以 $4$，得：
     $$4x^2+4z^2=17y^2-2y+1.$$
   • 整理为标准形式：
     $$4x^2-17y^2+4z^2+2y-1=0.$$

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答案

1. 投影直线 $L_0$ 的方程：
   $$\{\begin{array}{l}x=2y,\\ z=-\frac{1}{2}(y-1).\end{array}$$

2. 旋转曲面的方程：
   $$4x^2-17y^2+4z^2+2y-1=0.$$