数据逻辑（十）——逻辑函数的两种标准形式

news2025/1/7 15:59:59

目录

1 最小项和最大项

1.1 最小项

1.2 最大项

2 逻辑函数的最小项之和

3 逻辑函数的最大项之积

4 最小项之和以及最大项之积的联系和应用场景

4.1 最小项之和以及最大项目之积的联系

4.2 最小项之和以及最大项之积的应用场景

逻辑函数的两种标准形式分别是以最小项之和的形式和最大项之积形式。

1 最小项和最大项

1.1 最小项

对于n个变量的逻辑函数，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在m中出现一次，则称为该组变量的最小项。(最小项定义参考阎石主编的《数字电子技术基础》（第六版）)

最小项m具有以下特征：

  • m是一个乘积项。
  • 包含n个因子。（n个变量对应着有2个n次方个最小项）
  • n个变量均以原变量或者反变量的形式在m中出现一次。

例如，对于有两个变量A、B最小项有：A'B'、A'B、AB'、AB。

对于有三个变量A、B、C最小项有：A'B'C'、A'B'C、A'BC'、A'BC、AB'C'、AB'C、ABC'、ABC。

对于有四个变量A、B、C、D最小项有：A'B'C'D'、A'B'C'D、A'B'CD'、A'B'CD...ABCD等16项目。

下面详细说明两变量的最小项的编号表：

表1 两变量的最小项编号表
最小项AB十进制数编号
A'B'000m_0
A'B011m_1
AB'102m_2
AB113m_3

下面详细说明三变量的最小项的编号表：

表2 三变量的最小项编号表
最小项ABC十进制数编号
A’B'C'0000m_0
A'B'C0011m_1
A'BC'0102m_2
A'BC0113m_3
AB'C'1004m_4
AB'C1015m_5
ABC'1106m_6
ABC1117m_7

 根据最小项的定义有如下所示的性质：

  •  在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。
  • 全体最小项之和为1。
  • 任何两个最小项的乘积为0。
  • 具有相邻性的最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。

首先输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。例如：当有A、B两个变量，A=0，B=1时，A'B=1；当有A、B、C三个变量时，A=0、B=0、C=0时，A'B'C'=1;当有A、B、C、D，A=0、B=0、C=1、D=1时，A‘B'CD=1。

全体最小项之和为1。例如：当有A、B两个变量，A=0，B=1时，则A’B‘=0、A’B=1、AB'=0、AB=0，所以A'B'+A'B+AB'+AB=1；当有A、B、C三个变量中，A=0、B=1、C=1时，A'B'C'=0、A'B'C=0、A’BC'=0、A'BC=1、AB‘C'=0、AB'C=0、ABC'=0和ABC=0，则A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC=0。

任何两个最小项的乘积为0，例如：当有A、B两个变量，A=0，B=1，则A’B'=0、A‘B=1、AB'=0、AB=0时，A'B.(AB)=0.1=0。

具有相邻性的最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。例如有A、B、C三个变量，有一对相邻最小项AB'C和AB'C'，进行相加AB'C+AB'C'=AB'(C+C')=AB'。

1.2 最大项

在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。（最大项定义参考了阎石主编《数字电子技术基础》（第六版））

和最小项相似，最大项M具有以下性质：

  • M是最大项。
  • 包含n个因子。
  • n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现。

对于有n个变量有2^n个最大项。例如有A、B两个变量，有(A'+B')、(A'+B)、(A+B')和(A+B)四个，如果有A、B、C三个变量，则有(A'+B'+C')、(A'+B'+C)、(A'+B+C')、(A'+B+C)、(A+B'+C')、(A+B'+C)、(A+B+C')和(A+B+C)8个最大项。

下面详细介绍两变量最大项的编号表：

表3 两变量的最大项编号表
最大项AB对应十进制的值编号
A+B000M_0
A+B'011M_1
A'+B102M_2
A'+B'113M_3

下面详细介绍三变量最大项的编号表：

表4 三变量的最大项的编号表
最大项ABC对应十进制的值编号

A+B+C

0000M_0
A+B+C'0011M_1
A+B'+C0102M_2
A+B'+C'0113M_3
A'+B+C1004M_4
A'+B+C'1015M_5
A'+B‘+C1106M_6
A'+B'+C'1117M_7

与最小项的性质相似，最大项也有如下如下性质：

  • 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0。
  • 全体最大项之积为0。
  • 任意两个最大项之和为1。
  • 只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。

在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0。例如，有A、B两个变量，A=1、B=1时，A'+B'=0；有A、B、C三个变量，A=0、B=1、C=1时，A+B'+C'=0。

全体最大项目之积为0，例如，当有A、B两个变量时，A=1，B=0时，则A'+B'=1、A’+B=0、A+B'=1、A+B=1，此时全体最大项之积为(A'+B')(A'+B)(A+B')(A+B)=1.0.1.1=0。

任何两个最大项之和为1，例如，当有A、B、C三个变量，A=1、B=0、C=0时，此时A'+B+C=0，A+B+C'=1，A+B+C=1，可得(A'+B+C)+(A+B+C')=1，(A+B+C')+(A+B+C)=1。

只有一个变量不同的最大项目乘积等于各相同变量之和，例如，当有A、B、C三个变量，设M_1=A'+B+C'，M_2=A'+B+C。那么可以相乘得：

M_1M_2=(A'+B+C')(A'+B+C)=A'(A'+B+C)+B(A'+B+C)+C'(A'+B+C)=A'+A'B+A'C+A'B+BC+A'C'+BC'=A'+A'B+A'(C+C')+B+B(C+C')=A'+A'B+B=A'+B

通过计算过程可以看到M_1和M_2有A’和B是相同变量，M_1M_2相乘之后结果为A‘+B，验证了本条性质。

2 逻辑函数的最小项之和

逻辑函数的最小项之和是指将逻辑函数表示为若干个最小项相加的形式。

下面列举几个计算逻辑函数的最小项之和的例子。

（1）对于三变量A、B、C的逻辑函数Y=AB'C'+BC，写出最小项之和形式：

                                                                  Y=AB'C'+BC'

可以化为：

                             Y=AB'C'+BC'=AB'C'+(A+A')BC' =A'BC'+AB'C'+ABC' =m_2+m_4+m_6

或者写为：

                                                            Y(A,B,C)=\sum m(2,4,6)

（2）对于三变量A、B、C的逻辑函数Y=A'B'C+A，写出最小项之和形式：

                                                                   Y=A'B'C+A

可以化为： 

                         Y=A'B'C+A=A'B'C+A(B'C'+B'C+BC'+BC)=A'B'C+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC=m_1+m_4+m_5+m_6+m_7

或者写为： 

                                                  Y(A,B,C)=\sum m(1,4,5,6,7)

（3）对于四变量A、B、C、D的逻辑函数Y=ABC’+A'BCD，写出最小项之和形式：

                                                              Y=ABC'+A'BCD

可以化为：

                           Y=ABC'+A'BCD=ABC'(D+D')+A'BCD=A'BCD+ABC'D'+ABC'D=m_7+m_{12}+m_{13}

或者写为：

                                              Y(A,B,C,D)=\sum m(7,12,13)

（4）对于四变量A、B、C、D的逻辑函数Y=AB+A‘BCD+A'B'C'，写出最小项之和的形式：

                                                    Y=AB+A'BCD+A'B'C'

可以化为：

                       Y=AB+A'BCD+A'B'C'=AB(C'D'+C'D+CD'+CD)+A'BCD+A'B'C'(D+D')=A'B'C'D'+A'B'C'D+A'BCD+ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCD=m_0+m_1+m_7+m_{12}+m_{13}+m_{14}+m_{15}

或者写为：

                                         Y(A,B,C,D)=\sum m(0,1,7,12,13,14,15)

（5）对于四变量A、B、C、D的逻辑函数Y=AB+A'B',写出最小项之和的形式：

                                                           Y=AB+A'B'

可以化为：

        Y=AB+A'B'=A'B'(C'D'+C'D+CD'+CD)+AB(C'D'+C'D+CD'+CD)=A'B'C'D'+A'B'C'D+A'B'CD'+A'B'CD+ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCD=m_0+m_1+m_2+m_3+m_{12}+m_{13}+m_{14}+m_{15}

或者写为：

                                      Y(A,B,C,D)=\sum m(0,1,2,3,12,13,14,15)

（6）对于四变量A、B、C、D的逻辑函数Y=AB+CD，写出最小项之和的形式：

                                                           Y=AB+CD

可以化为：

              Y=AB+CD=AB(C'D'+C'D+CD'+CD)+(A'B'+A'B+AB'+AB)CD=ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCD+A'B'CD+A'BCD+A'B'CD+A'BCD+AB'CD=m_3+m_7+m_{11}+m_{12}+m_{13}+m_{14}+m_{15}

或者写成：

                                        Y(A,B,C,D)=\sum m(3,7,11,12,13,14,15)

（7）对于四变量A、B、C、D的逻辑函数Y=A'B'+AB'C'D+ABC，写出最小项之和形式：

                                           Y=A'B'+AB'C'D+ABC

可以化为：

             Y=A'B'+AB'C'D+ABC=A'B'(C'D'+C'D+CD'+CD)+AB'C'D+ABC(D+D')=A'B'C'D'+A'B'C'D+A'B'CD'+A'B'CD+AB'C'D+ABCD'+ABCD=m_0+m_1+m_2+m_3+m_9+m_{12}+m_{13}+m_{14}+m_{15}

或者写成：

                                    Y(A,B,C,D)=\sum m(0,1,2,3,9,12,13,14,15)

3 逻辑函数的最大项之积

逻辑函数的最大项之积是指将逻辑函数表示为若干个最大项相乘的形式。

（1）对于两变量A、B的逻辑函数Y=AB'+A'B，写出最大项之积的形式：

                                                     Y=A'B+AB'

可以化为：

                           Y=A'B+AB'=(A+B)(A'+B')=M_0M_3

或者写为：

                                                  Y(A,B)=\prod M(0,3)

（2）对于三变量A、B、C的逻辑函数Y=A+BC，写出最大项之积的形式：

                                                          Y=A+BC

可以化为：

                   Y=A+BC=(A+B)(A+C)=(A+B+CC')(A+BB'+C)=(A+B+C)(A+B+C')(A+B+C)(A+B'+C)=(A+B+C)(A+B+C')(A+B'+C)=M_0M_1M_2

或者写为:

                                               Y(A,B,C)=\prod M(0,1,2)

（3）对于三变量A、B、C的逻辑函数Y=A+BC'+B'C，写出最大项之积的形式：

                                                   Y=A+B'C+BC'

可以化为：

                Y=A+BC'+B'C=A+(B+C)(B'+C')=(A+B+C)(A+B'+C')

或者写为：

                                               Y(A,B,C)=\prod M(0,3)

通过计算可以看到，最大项之积计算起来过程较为复杂，并且不符合读写习惯，因此最大项之积相比于最小项之和在实际应用中使用较少。

4 最小项之和以及最大项之积的联系和应用场景

4.1 最小项之和以及最大项目之积的联系

逻辑函数的最小项之和以及最大项之存在一定的关系，如下图所示：

图1 最小项之和转换为最大项之积公式抓换图

在上图中，逻辑函数Y是最小项之和，i是使最小项为1的变量取值所对应的十进制值的集合，而Y‘的逻辑式的最大项之积的形式则是k不等于i的最大项之积。

4.2 最小项之和以及最大项之积的应用场景

最小项之和的形式可以清楚地展示在哪些输入组合下输出1，能够完整地解释逻辑函数的功能。在数字电路设计中，最小项之和形式方便进行电路的化简和实现。例如在卡诺图中，常常利用最小项的形式进行化简，卡诺图中的一个方格对应的是一个最小项，相邻的方格进行组合即为最小项的相邻项之间进行合并。

在数字电路设计时，尤其是在与非门设计时，最大项之积可以提供一种新的设计思路，将电路设计为与非门的组合来实现电路。同时在逻辑函数的证明和等价转换过程中，最大项之积形式可以验证逻辑函数的正确性和一致性。

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