一，罗素悖论

罗素悖论：由所有不包含自身的集合所组成的集合，这个集合是否包含自身呢？

更多悖论参考经典悖论

产生悖论的原因是，集合的定义太宽松了，只要形如“由所有***构成的集合”都可以用来定义集合，这样就可能产生自我指涉。

消除悖论的方法是，建立公理体系，只有满足特定语法的句子，才能用来描述一个集合。这样，就消除了自我指涉。

二，ZFC公理系统

1，7条公理

有2种主流的版本，9条公理的版本，10条公理的版本。

实际上公理最小集是7条公理：外延公理、幂集公理、并集公理、无限公理、良基公理、选择公理、替代公理模式

关于公理模式，参考公理系统、形式系统

2，9条公理

根据上面的7条公理，可以推出分离公理、配对公理

3，10条公理

根据上面的7条公理，可以推出空集公理

一般来说，一个公理系统只会选择公理最小集作为公理，可以推导出来的应该叫定理。可能是因为分离公理、配对公理、空集公理也很基本，为了方便也当做公理了。