数据结构与算法学习笔记----快速幂

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2025.1.2

ps⭐️快速幂的两道模版题，快速幂，乘法逆元，费马小定理

Acwing 875. 快速幂

[原题链接](875. 快速幂 - AcWing题库)

给定$n$组$a_i,b_i,p_i$，对于每组数据，求出$a_i^{b_i}mod{p}_i$的值

输入格式

第一行包含整数$n$，

接下来$n$行，每行包含三个整数$a_i,b_i,p_i$。

输出格式

对于每组数据，输出一个结果，表示$a_i^{b_i}mod{p}_i$的值。

每个结果占一行。

数据范围

$1\le n\le 100000$,

$1\le a_i,b_i,p_i\le 2\times 10^9$、

思路

快速幂是一种高效的计算整数幂的算法，适用于大数的幂运算，比如这题的数据范围，$a_i,b_i,p_i$都可以到亿的级别，通过快速幂可以将暴力运算的$O(n)$时间复杂度优化到$O(\log n)$级别，$n$是幂的范围。

核心思想：将指数$b$通过二进制分解，从而达到$\log b$的运算量，也就是

$$\begin{array}{rl}{a}^{b}modp& =a^{(2^{x_1})+2^{x_2}+\cdots +2^{x_k}}modp\\ & =a^{2^{x_1}}{a}^{2^{x_2}}\cdots a^{2^{x_k}}modp\\ & =(a^{2^{x_1}}modp)\cdot (a^{2^{x_2}}modp)\cdots (a^{2^{x_k}}modp)\end{array}$$

在代码中，我们也无需对$k$的二进制分解及$a^x$进行预处理，只需要边运算边处理就行，具体看下面代码吧，代码还是很清晰的。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p)
{
   int res = 1;
   
   while(k)   
   {
       if(k & 1) res = (LL) res * a % p;   // 从k的二进制表示最低位开始，也就是2的0次方，此时a的2的0次方就是a
       k >>= 1;  // 每次右移一位
       a = (LL) a * a % p;  // 每次将a平方，因为a上面是2的次方，每次提高一位相当于乘一个a的2的0次方，就是a
   }
   return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while(n --)
    {
        int a, b, p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << qmi(a, b, p) << endl;
    }
    
    return 0;
}

Acwing 876. 快速幂求逆元

[原题链接](876. 快速幂求逆元 - AcWing题库)

给定$n$组$a_i,p_i$，其中$p_i$是质数，求$a_i$模$p_i$的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。

注意：请返回$0\sim p-1$之间的逆元。

乘法逆元的定义：

若整数$b，m$互质，并且对于任意的整数$a$，如果满足$b|a$，则存在一个整数$x$，使得$\frac{a}{b}\equiv a\times x(modm)$，则称$x$为$b$模$m$的乘法逆元，记为$b^{-1}(modm)$。

$b$存在乘法逆元的充要条件是$b$与模数$m$互质，当模数$m$为质数时，$b^{m-2}$即为$b$的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数$n$，

接下来$n$行，每行包含一个数组$a_i,p_i$，数据保证$p_i$是质数。

输出格式

输出共$n$行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若$a_i$模$p_i$的乘法逆元存在，则输出一个整数表示逆元，否则输出impossbile。

数据范围

$1\le n\le 10^5$，

$1\le a_i,p_i\le 2\ast 10^9$

思路

主要的难点是定义比较绕，我们可以对定义的式子进行一些变形

$$\frac{a}{b}\equiv a\times x(modm)\text{\hspace{1em}(1)}$$

在式(1)的两边同乘$b$，我们可以得到式(2)

$$a\equiv b\times a\times x(modm)\text{\hspace{1em}(2)}$$

两边再同时除$a$可以得到

$$1\equiv b\times x(modm)\text{\hspace{1em}(3)}$$

因此我们要求的就是一个$x$，可以使$b\times x\equiv 1(modm)$

还有一个注意点是$b$存在乘法逆元的充要条件是模数$m$与$b$互质，题目中给出了条件模数$p_i$保证了是质数，也就是保证了这个条件。

这里需要补充一个额外的定理：费马小定理

当$m$是一个质数，对于任意整数$a$（$a$不被$m$整除），有$a^{m-1}\equiv 1(modm)$

那么对费马小定理的这个公式进行变形，拆分次方可得$a\cdot a^{m-2}\equiv 1(modm)$，我们就能直接得到$a$的乘法逆元是$a^{m-2}$。

因此问题转换为求$a^{m-2}$，也就是应用上面的快速幂。

需要注意的是题目虽然保证了$p$是一个质数，但是却被没有保证我们的充要条件，也就是$a_i$与$p_i$互质，因此需要判断$a_i$是否是$p_i$的倍数，只有这样的情况他们才不互质。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = (LL) res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while(n --)
    {
        int a, p;
        cin >> a >> p;
        if(a % p == 0) puts("impossible");
        else cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;
    }
    
    return 0;
}