数据结构与算法学习笔记----欧拉函数

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2025.1.1

ps⭐️欧拉函数的定义及求法，第二题是在线性筛法的过程中维护欧拉函数。

欧拉函数

通常用符号$\phi (n)$表示，定义为小于或等于$n$且与$n$互质的正整数的个数。

如何求解

若$n$的质因数分解为(基于算术基本定理，这里可以看上一篇约数的相关内容)：

$$n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\text{\hspace{1em}(1)}$$

则欧拉函数$\phi (n)$可以通过以下公式计算：

$$\phi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})\text{\hspace{1em}(2)}$$

公式推导

这里给出y总讲解的公式推导，根据容斥原理进行理解。

对于每个质因数$p_i$来说，$1\sim n$中有$\frac{n}{p_i}$个数与$n$不互斥，这些分别是$p_i$的$1$倍，$2$倍…。

那么就要从$n$中减去这些数，因此有

$$n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}-\cdots -\frac{n}{p_k}\text{\hspace{1em}(3)}$$

但是需要注意的是，在$1\sim n$中也会有一些数既是$p_i$的倍数又是$p_j$的倍数，那么这个数就会被减去两次，因此又要加回来，上式变为

$$n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}-\cdots -\frac{n}{p_k}+\sum \frac{1}{p_i{p}_j}\text{\hspace{1em}(4)}$$

以此类推，又会有有的数是三个质因数的倍数，因此又会多加上，所以要再减去

最终就会有

$$n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}-\cdots -\frac{n}{p_k}+\sum \frac{1}{p_i{p}_j}-\sum \frac{1}{p_i{p}_j{p}_k}+\cdots \pm \sum \frac{1}{p_i{p}_j\cdots p_k}\text{\hspace{1em}(5)}$$

即式(2)的展开式。

Acwing 873. 欧拉函数

[原题链接](873. 欧拉函数 - AcWing题库)

给定$n$个正整数$a_i$，对于每个整数$a_i$，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式

第一行包含整数$n$，

接下来$n$行，每行包含一个正整数$a_i$。

输出格式

输出$n$行，每行输出一个正整数$a_i$的欧拉函数

数据范围

$1\le n\le 100$,

$1\le a_i\le 2\times 10^9$、

思路

按照上述公式，对每个$a_i$分解质因数即可，然后按式（2）乘起来，注意点是不要有小数，因此要变形一下，先除再乘，具体看代码的实现吧。

代码的时间复杂度瓶颈就在分解质因数这一步，因为要算$n$次，所以为$O(n\sqrt{n})$。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while(n --)
    {
        int a;
        cin >> a;
        
        int res = a;
        for(int i = 2; i <= a / i; i ++)
        {
            if(a % i == 0)  // 分解质因数
            {
                res = res / i * (i - 1);
                while(a % i == 0) a /= i;
            }
        }
        if(a > 1) res = res / a * (a - 1);
        
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}

Acwing 874. 筛法求欧拉函数

[原题链接](874. 筛法求欧拉函数 - AcWing题库)

给定一个正整数$n$，求$1\sim n$中每个数的欧拉函数之和。

输入格式

共一行，包含一个整数$n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示$1\sim n$中每个数的欧拉函数之和 。

数据范围

$1\le n\le 10^6$

思路

线性筛选的过程中可以维护欧拉函数，关于线性筛法的讲解可以看这一个链接，这里我们放一个线性筛的代码

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

首先根据定义，所有的质数$i$的欧拉函数是$\phi (i)=i-1$，因为$1\sim i$中有$i-1$个数与质数$i$自己互质。

在线性筛中，我们会将所有的质数都存在primes[]数组中，对于所有的合数通过st[]数组标记的方式筛选，那么对于这些数来说，有两种情况：1️⃣i %primes[j] != 0；2️⃣i % primes[[j] == 0。

• 线性筛的原则是对于每个非质数，用其最小质因子将其筛除，那么对于第一种情况，primes[j]不是i的质因子且大于i的所有质因子（因为是从小达到枚举的），那么对于数i * primes[j]来说，primes[j]就是其最小质因子，因此这里st[i * primes[j] = true将其筛除，那么其质因数分解就会是i的质因数分解再乘上primes[j]，根据欧拉函数的定义，就可以知道其欧拉函数表达式为$\phi (i\ast primes[j])=\phi (i)\ast primes[j]\ast (1-\frac{1}{primes[j]})$,用代码表示就是phi[i * primes[j] = phi[i] * (primes[j] - 1)。
• 那么对于第二种情况，当i % primes[j] == 0时表示primes[j]是i的最小质因子，因此因此其欧拉函数表达式为$\phi (i\ast primes[j])=\phi (i)\ast primes[j]$，用代码表示就是phi[i * primes[j] = phi[i] * primes[j]。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;

int n;
int phi[N];
int primes[N], cnt;
bool st[N];

LL get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;
    
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i, phi[i] = i - 1;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) res += phi[i];
    
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    cout << get_eulers(n) << endl;
    
    return 0;
}