【C++】B2084 质因数分解

news2025/1/4 0:22:21

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博客主页： [小ᶻ☡꙳ᵃⁱᵍᶜ꙳] 本文专栏: C++

文章目录

💯前言
💯 题目描述：质因数分解
- 输入格式
- 输出格式
- - 输入输出样例：
💯 问题解析
- 1. 质数的定义
- 2. 题目特点
- 3. 约束范围
- 4. 问题分解
💯 解题过程
- 我的初始代码与错误
- - 代码尝试 1：错误的暴力解法
  - 问题分析：
  - 错误修正：使用单层循环优化
  - 问题分析：
- 老师的做法与分析
- - 老师的代码：
  - 分析：
- 改进与优化
- - 改进点 1：限制循环范围
  - 改进点 2：质数判断
  - 最终代码：
- 完整解析
- - 思路总结：
  - 复杂度分析：
💯小结

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💯前言

本次分析的题目是关于质因数分解的。题目要求我们通过数学和编程技巧，在已知整数 $n$ 的前提下找到两个质因数中较大的那个。经过分析与尝试，我们对本题进行了深入剖析，不仅学习了老师的实现方法，还对自己的方法进行了调整和优化，最终得出了准确的解法。
以下内容详细记录了题目的解决过程，包括理解问题、自己代码的探索和错误排查、与老师代码的对比、以及从中学习到的知识点。
C++ 参考手册

💯 题目描述：质因数分解

已知正整数 $n$ 是两个不同的质数的乘积，试求出较大的那个质数。

输入格式

输入只有一行，包含一个正整数 $n$ （ $6 < n < 10^9$ ）。

输出格式

输出只有一行，包含一个正整数 $p$ ，即较大的那个质数。

输入输出样例：

输入：

输出：

💯 问题解析

要解答本题，首先需要理解题目中的关键概念：

1. 质数的定义

质数是一个大于 1 的正整数，且除了 1 和自身之外，不可被其他数整除。例如，2、3、5、7 是质数，而 4、6、9 不是质数。

2. 题目特点

根据题意，输入的 $n$ 是两个不同质数的乘积：
$m_1 \times m_2$
其中 $m_1$ 和 $m_2$ 都是质数，且 $m_1 \neq m_2$ 。需要输出较大的质数 $m_2$ 。

3. 约束范围

$6 < n < 10^9$ 。这一范围很大，因此暴力解法需要优化。

4. 问题分解

找到 $n$ 的两个因子 $m_1$ 和 $m_2$ 。
验证它们是否为质数。
输出较大的因子 $m_2$ 。

💯 解题过程

在解题过程中，我们先后尝试了自己的方法和老师的方法，同时通过不断调整和优化代码，逐步发现并解决了问题。

我的初始代码与错误

代码尝试 1：错误的暴力解法

初始时，我采用了一种双重循环的方法，从 $i = 1$ 开始遍历所有可能的因子组合，并比较大小：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            if (i * j == n) {
                if (i > j)
                    cout << i << endl;
                else
                    cout << j << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

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问题分析：

逻辑错误：
- 双重循环虽然遍历了所有可能的因子组合，但没有判断因子是否是质数。
- 不符合题目要求，结果不一定正确。
效率低下：
- 两层循环的时间复杂度是 $O(n^2)$ 。对于题目输入范围（ $n < 10^9$ ），运行时间过长，导致超时（TLE）。

错误修正：使用单层循环优化

我尝试用单层循环替代双重循环，从 2 开始查找因子：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        double m = n * 1.0 / i;
        if (n / i == m) {
            cout << m << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

问题分析：

浮点数误差：
- 使用 double 存储因子可能导致计算精度问题。
- 如输入较大值，可能因浮点数误差导致判断错误。
缺乏质数判断：
- 即使结果符合 $\times j = n$ ， $i$ 和 $j$ 也不一定是质数。

老师的做法与分析

老师的代码：

老师的代码更简洁，利用了 n % i == 0 的逻辑直接判断因子，同时通过 break 提前终止循环：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 0;
    cin >> n;

    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            cout << n / i << endl;
            break;
        }
    }

    return 0;
}

分析：

简洁性：
- 利用 n % i == 0 查找最小因子 $m_1$ ，直接计算出另一个因子 $m_2 = n / m_1$ 。
- 输出 $m_2$ 时无需额外判断，因为较大的因子总是 $m_2$ 。
效率：
- 单层循环，复杂度为 $O (n)$ 。适用于小范围的 $n$ 。
缺陷：
- 没有判断 $m_1$ 和 $m_2$ 是否为质数。
- 若 $n$ 不满足题目要求（即 $n$ 不等于两个质数的乘积），结果不一定正确。

改进与优化

在学习老师代码的基础上，我们对算法进行了改进，以提升效率和保证正确性。

改进点 1：限制循环范围

根据因子分布规律，较小因子必然小于 $\sqrt{n}$ 。
只需遍历 $2$ 到 $\sqrt{n}$ 。复杂度降为 $O(\sqrt{n})$ 。

改进点 2：质数判断

增加一个辅助函数 isPrime 判断因子是否为质数：

bool isPrime(int x) {
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

最终代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

bool isPrime(int x) {
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            int j = n / i;
            if (isPrime(i) && isPrime(j)) {
                cout << max(i, j) << endl;
                return 0;
            }
        }
    }

    return 0;
}