【问题描述】
你有一架天平和N个砝码，这N个砝码的重量依次是w1,w2,……,wn。（1~n为下标）
请你计算利用N个砝码一共可以称出多少种不同的重量？
【注意】砝码可以放在天平的两边
【输入格式】
第一行包含一个整数N。
第二行包含N个整数w1,w2,……,wn。（1~n为下标）。
【输出格式】
一个整数，代表答案
【样例输入】
3
1 4 6
【样例输出】
10
【样例说明】
能称出的10种重量是1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。
1 = 1；
2 = 6 --4 (天边的一边放6，一边放4。)
3 = 4 - 1
4 = 4
5 = 6 - 1;
6 = 6
7 = 1 + 6
9 = 4 + 6 - 1
10 = 4 + 6
11 = 1 + 4 + 6
【评测用例规模与约定】
对于50%的评测用例, N >= 1 &&N<=15
对于所有评测用例 ，N <= 1&& N <= 100，N个砝码的总重量不超过100000。
【试题解析】
本题也是一道典型的动态规划题目。
设状态dp[i][j]表示i个砝码可称出重量j,则状态转移方程为1为dp[i][j]=dp[i-1][j]，该方程表示i-1个砝码所能称出的重量i个砝码也能称出来，状态转移方程2为dp[i][j] = dp[i][abs(j-a[i])]
该方程表示加入第i个砝码，看是否能称出i-1个砝码未能称出的重量。
程序首先从第1个砝码开始，当有新的砝码i加入时，一共分成以下三种情况。
（1）当前重量j刚好等于加入的砝码a[i]
将当前的dp[i][j]状态设为1.
（2）当前重量j大于加入的砝码a[i]
dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]]，该状态表示j是否能由i-1个砝码能称出的重量与a[i]相加而得。
（3）当前重量j小于加入的砝码a[i]
dp[i][j] = dp[i-1][a[i]-j]，该状态表示j是否能由a[i]减去i-1个砝码所能称出的重量而得。
输入样例如下：
| a[i] | a[1] | a[2] | a[3] |
| 1 | 4 | 6 |
dp[i][j]状态矩阵如下
【参考程序如下】
#include <iostream>
long long dp[102][100002] = {0};
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) {
int a[102];
int n;
int sum = 0;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n;i++)
{
cin >> a[i];
sum += a[i]; // i个砝码所能称出的最大重量是sum
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= sum; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j]; //继承i-1的性质
if(!dp[i][j])
{
if(j == a[i])dp[i][j] = 1;
else if(j > a[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - a[i]];
else dp[i][j] = dp[i - 1] [a[i] - j];
}
}
int count = 0;
for(int i = 1; i <= sum;i++)
if(dp[n][i]) count++;
cout << count;
// reutrn 0;
}
【程序运行结果如下】
