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一、平衡二叉查找树

平衡二叉查找树-AVL树的定义

• AVL树：在key插入时一直保持平衡的二叉查找树。
• 可以利用AVL树实现抽象数据类型映射Map。与二叉查找树相比，AVL树基本上与二叉查找树的实现相同，不同在于生成与维护过程。
• 平衡因子balance factor：根据节点的左右子树的高度来定义，等于左子树的高度减去右子树的高度。
  • 如果平衡因子大于0，称为“左重left-heavy”，
  • 如果平衡因子小于0，称为“右重right-heavy”
  • 如果平衡因子等于0，称为平衡
• 如果一个二叉查找树中每个节点的平衡因子都在-1，0，1之间，则把这个二叉查找树称为平衡树
• AVL树的搜索时间复杂度为O(log2n)

AVL树的Python实现

• _put方法：AVL树同时也是二叉查找树，所以新key必定以叶节点形式插入到AVL树中。插入一个新key后，更新着其父节点到根节点的平衡因子，对平衡因子大于或小于1的节点进行重新平衡

• rebalance重新平衡方法：将不平衡的子树进行旋转rotation，右重子树进行左旋转，左重子树进行右旋转。以右重子树进行左旋转为例，分两种情况：

  • 情况一：将右子节点B提升为子树的根，将旧根节点A作为新根节点B的左子节点。如果新根节点B原来有左子节点，则将此节点设置为A的右子节点（A的右子节点一定有空）。
    

  • 情况二：在左旋转之前检查右子节点的因子。如果右子节点“左重”的话，先对它进行右旋转，再实施原来的左旋转
    

from my_tree import TreeNode, BinarySearchTree


class AVLNode(TreeNode):
    def __init__(self, key, val, l_child=None, r_child=None, parent=None, b_factor=0):
        self.key = key
        self.val = val
        self.l_child: AVLNode = l_child
        self.r_child: AVLNode = r_child
        self.parent: AVLNode = parent
        self.b_factor = b_factor


class AVLTree(BinarySearchTree):
    def put(self, key, val):
        """插入key val，构造BST"""
        # 如果树不为空时，调用_put()插入到BST；否则成为BST的根
        if self.root:
            self._put(key, val, self.root)
        else:
            self.root = AVLNode(key, val)

        self.size += 1

    def _put(self, key, val, cur_node: TreeNode):
        # 如果key比currentNode小，那么_put到左子树；否则，_put到左子树。
        if key < cur_node.key:
            if cur_node.has_l_child():
                self._put(key, val, cur_node.l_child)
            else:
                cur_node.l_child = AVLNode(key, val, parent=cur_node)
                # 增加：调整因子
                self.update_balance(cur_node.l_child)
        else:
            if cur_node.has_r_child():
                self._put(key, val, cur_node.r_child)
            else:
                cur_node.r_child = AVLNode(key, val, parent=cur_node)
                # 增加：调整因子
                self.update_balance(cur_node.r_child)

    def update_balance(self, node: AVLNode):
        if node.b_factor > 1 or node.b_factor < -1:
            # 重新平衡
            self.re_balance(node)
            return

        if node.parent != None:
            if node.is_l_child():
                node.parent.b_factor += 1
            elif node.is_r_child():
                node.parent.b_factor -= 1

            # 递归调用：调整父节点因子
            if node.parent.b_factor != 0:
                self.update_balance(node.parent)

    def re_balance(self, node: AVLNode):
        if node.b_factor < 0:  # 右重需要左旋
            if node.r_child.b_factor > 0:
                self.rotate_right(node.r_child)  # 右子节点先右旋
                self.rotate_left(node)
            else:
                self.rotate_left(node)
        elif node.b_factor > 0:
            if node.l_child.b_factor < 0:
                self.rotate_left(node.l_child)
                self.rotate_right(node)
            else:
                self.rotate_right(node)

    def rotate_left(self, rot_root: AVLNode):
        new_root = rot_root.r_child
        rot_root.r_child = new_root.l_child
        if new_root.l_child != None:
            new_root.l_child.parent = rot_root
        new_root.parent = rot_root.parent

        if rot_root.is_root():
            self.root = new_root
        else:
            if rot_root.is_l_child():
                rot_root.parent.l_child = new_root
            else:
                rot_root.parent.r_child = new_root
        new_root.l_child = rot_root
        rot_root.parent = new_root
        rot_root.b_factor = rot_root.b_factor + 1 - min(new_root.b_factor, 0)
        new_root.b_factor = new_root.b_factor + 1 + max(rot_root.b_factor, 0)

    def rotate_right(self, rot_root: AVLNode):
        new_root = rot_root.l_child
        rot_root.l_child = new_root.r_child
        if new_root.r_child != None:
            new_root.r_child.parent = rot_root
        new_root.parent = rot_root.parent

        if rot_root.is_root():
            self.root = new_root
        else:
            if rot_root.is_r_child():
                rot_root.parent.r_child = new_root
            else:
                rot_root.parent.r_child = new_root
        new_root.r_child = rot_root
        rot_root.parent = new_root
        rot_root.b_factor = rot_root.b_factor + 1 - min(new_root.b_factor, 0)
        new_root.b_factor = new_root.b_factor + 1 + max(rot_root.b_factor, 0)

二、AVL树测试

• 依次将下面6个节点插入到平衡二叉查找树，查看平衡二叉查找树状态

• 删除节点26，查看平衡二叉查找树状态

• 参考资料：AVL树在线演示。在线演示网站，在删除节点时使用的是中序前驱（左子树中的最大节点），所示演示结果与输出结果有差异。

bst = AVLTree()
bst[17] = "tiger"
bst[26] = "dog"
bst[31] = "cow"
bst[54] = "cat"
bst[93] = "lion"
bst[77] = "bird"

bst.display_tree()
print(bst[26])
del bst[26]
print(bst[26])
bst.display_tree()


### 输出结果
54 26 17 31 93 77 
dog
None
54 31 17 93 77

三、AVL树-算法分析

• AVL树始终维持平衡，get方法始终保持O(log2n)最佳性能
• AVL树的put方法分为两个部分：
  • 需要插入的新节点是叶节点，更新其所有父节点和祖先节点的代价最多为O(log2n)。
  • 如果插入的新节点引发了不平衡，重新平衡最多需要2次旋转，但旋转的代价与问题规模无关，是常数O(1)
  • put方法的时间复杂度还是O(log2n)

映射的实现方法小结

• 抽象数据类型映射Map，可以采用多种数据结构和算法来实现，时间复杂度数量级如下

操作类型	有序表	散列表	二叉查找树	AVL树
put	O(n)	O(1) -> O(n)	O(log2n) -> O(n)	O(log2n)
get	O(log2n)	O(1) -> O(n)	O(log2n) -> O(n)	O(log2n)
in	O(log2n)	O(1) -> O(n)	O(log2n) -> O(n)	O(log2n)
del	O(n)	O(1) -> O(n)	O(log2n) -> O(n)	O(log2n)

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