对极几何（Epipolar Geometry）介绍

对极几何是立体视觉中的核心内容之一，它描述了两个相机在观察同一个三维场景时，成像平面之间的几何关系。对极几何能够约束图像中对应点的位置关系，是双目立体匹配、三维重建、以及位姿估计的重要理论基础。

对极几何的基本概念

对极几何的基本概念涉及以下几个核心要素

对极点（Epipole）

• 定义：对极点是一个特殊的点，它是一个相机的光心在另一个相机成像平面上的投影。
• 特性：
  • 两个相机光心和一个三维点构成一个平面，称为对极平面（Epipolar Plane）。
  • 对极平面与成像平面的交线称为对极线（Epipolar Line），对极点是所有对极线的交点。
  • 对极点的位置反映了两个相机之间的相对位置。

对极线（Epipolar Line）

• 定义：对极线是对极几何的核心约束之一。三维点P在两个图像平面上的投影点 p1和p2，它们的关系被对极线约束。
• 特性：
  • 图像中一个点的匹配点一定位于另一张图像对应的对极线上。
  • 对极线是两个相机和一个三维点构成的对极平面与图像平面的交线。

对极约束（Epipolar Constraint）

对极约束定义了两个图像中点对的几何关系，它能有效减少匹配点的搜索范围。

• 假设三维点P在两张图像中的投影点分别为 p1和p2，根据对极约束，点p2
  必然位于点p1在另一图像中的对极线上。

其中：

• F是基础矩阵（Fundamental Matrix），描述了两张图像间的对极几何关系。
• p1和p2是两幅图像中对应点的齐次坐标。

基础矩阵（Fundamental Matrix）和本质矩阵（Essential Matrix）

理解对级约束

对极约束本质上是由三角几何和空间射影变换导出的，用于描述两幅图像中对应点的约束关系。它的核心作用是将三维匹配问题降低到二维问题，从而减少计算量。

几何直观理解

数学推导

对极几何的应用

• 双目立体匹配
  对极几何将匹配点的搜索空间从二维图像缩小到一维的对极线上，大大减少了匹配复杂度。
• 三维重建
  通过对极几何计算多个视角下对应点的匹配关系，可以对场景进行三维点云重建。
• 相机标定和姿态估计
  通过求解基础矩阵和本质矩阵，可以计算相机的相对旋转和平移（姿态）。

对极几何的优势和局限性

• 优势：
  • 减少计算复杂度：利用对极约束，匹配点搜索范围从二维空间缩小为一维。
  • 相对鲁棒：不需要知道三维点的真实深度即可描述图像间几何关系。
  • 广泛适用：适用于相机标定、三维重建等多种场景。
• 局限性：
  • 假设相机视场有限：对极几何的假设依赖于两相机对同一场景的视场重叠。
  • 对噪声敏感：实际中基础矩阵𝐹的估计可能因噪声而不精确，影响匹配和计算结果。
  • 单独使用限制较多：对极几何本身无法恢复场景的三维结构，需要结合立体匹配或多视图几何。

总结

对极几何是计算机视觉中的重要工具，通过对极点、对极线和对极约束的分析，我们可以理解相机间的几何关系，为后续三维重建、位姿估计等任务提供理论支持。