插入排序与计数排序详解

news2024/12/23 12:33:59

在 C++ 编程中，排序算法是非常基础且重要的知识。今天我们就来深入探讨两种常见的排序算法：插入排序和计数排序，包括它们的代码实现、时间复杂度、空间复杂度、稳定性分析以及是否有优化提升的空间。

一、插入排序

插入排序（Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法，它的工作原理类似于我们扑克牌理牌的过程，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

1. 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

void insertionSort(std::vector<int>& arr) {
	int n = arr.size();
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		int key = arr[i];
		int j = i - 1;
		while (j >= 0 && arr[j] > key) {
			arr[j + 1] = arr[j];
			j--;
		}
		arr[j + 1] = key;
	}
}

int main() {
	std::vector<int> arr = { 12, 11, 13, 5, 6 };
	insertionSort(arr);
	for (int num : arr)
		std::cout << num << " ";
	std::cout << std::endl;
	return 0;
}

在上述代码中，我们从数组的第二个元素开始，将当前元素 key 与已排序部分的元素依次比较，找到合适位置插入，使得已排序部分始终保持有序。

2. 时间复杂度

最好情况：当输入数组已经有序时，每次比较只需一次，时间复杂度为 O(n)，这里的n是数组的元素个数。因为只需要遍历一遍数组，每次比较都能确定当前元素位置无需移动。

最坏情况：当输入数组是逆序时，对于每个元素，都需要与前面所有已排序元素比较并移动，时间复杂度为 O( $n^{2}$ )。

平均情况：平均时间复杂度也是 O( $n^{2}$ ) ，因为在平均意义下，每个元素大约需要与已排序部分一半的元素进行比较和移动。

3. 空间复杂度

插入排序是原地排序算法，它只需要常数级别的额外空间，空间复杂度为O(1) 。因为在排序过程中，我们仅仅是在原数组上通过交换元素位置来实现排序，不需要额外开辟大量的数据存储空间。

4. 稳定性

插入排序是稳定的排序算法。所谓稳定，就是在排序过程中，如果两个元素相等，它们在排序前后的相对顺序保持不变。在插入排序代码中，当遇到相等元素时，我们不会交换它们的位置，只是将当前元素插入到合适位置，所以相等元素的相对顺序得以保留。

二、计数排序

计数排序（Counting Sort）是一种非比较排序算法，它适用于一定范围内的整数排序，利用元素值作为索引，统计每个元素出现的次数，然后根据统计结果将元素依次放回原数组。

1. 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

void countingSort(std::vector<int>& arr) {
	int maxVal = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
	std::vector<int> count(maxVal + 1, 0);
	std::vector<int> output(arr.size(), 0);
	// 统计每个元素出现次数
	for (int num : arr)
		count[num]++;
	// 计算累计次数，确定元素在输出数组中的位置
	for (int i = 1; i <= maxVal; ++i)
		count[i] += count[i - 1];
	// 从后向前遍历原数组，将元素放入正确位置
	for (int i = arr.size() - 1; i >= 0; --i) {
		output[count[arr[i]] - 1] = arr[i];
		count[arr[i]]--;
	}
	// 将排序后结果复制回原数组
	for (int i = 0; i < arr.size(); ++i)
		arr[i] = output[i];
}

int main() {
	std::vector<int> arr = { 4, 2, 2, 8, 3, 3, 1 };
	countingSort(arr);
	for (int num : arr)
		std::cout << num << " ";
	std::cout << std::endl;
	return 0;
}

这段代码首先找出数组中的最大值，以此确定计数数组的大小。接着统计每个元素出现次数，再通过累计次数确定元素在输出数组中的最终位置，最后将排序好的元素放回原数组。