视频相关性计算

问题描述

小蓝作为异世界最大流媒体网站 LanTube 的高级算法工程师，他想要实现更加精准的视频推荐服务来满足用户的喜好。
其中，**“视频的相关性”**是一个重要指标，它代表了两个视频 A 到 B 的关联程度，记作 f(A, B)。
现在我们给出两个视频 相关性 的定义:若 A 视频，在通过一系列相关联视频构成的路径中，可以关联到 B 视频，则称此条路径为 相关路径，而相关性 f(A,B)等于每一条相关路径上最小相关性的总和。
例如:视频 A 与视频 B,C 相关，相关性f(A,B)= 10,f(A,C)= 4;视频 B 与视频D 相关，f(B,D)=5;视频 C 与视频 D 相关，f(C,D)=3。则在相关路径A→B→D 中，最小相关性为5，在相关路径A→C→D 中，最小相关性为 3，则 f(A,D)=5+3=8。
现在给出了 N 部视频，序号依次为1~ N。并已知 M 条关于第a部视频到第b部视频相关性f(a,b)，其中a≠b。求第 S 部视频到第 T 部视频的相关性。

注明：原题说法有误，f(A,C)= 2，f(C,D)=3，则在相关路径A→C→D 中，最小相关性应该为 2，则 f(A,D)=5+2=7。所以7才是正确的最小相关性。此处为了不引起误解，将f(A,C)=2修改为f(A,C)=4。

输入格式

第一行包含四个正整数 N,M,S,T，代表有 N 个视频，有 M 对视频的相关性，求第 S 和第 T 部视频相关性。
接着下面 M 行，每行有三个整数 α,b, f(a,b)，代表第 α 部到第 b部视频相关性为 f(a,b)。

输出格式

输出一个正整数，代表第 S 和第 T 部视频相关性。

输入样例

7 8 2 7
2 1 50
2 3 40
1 4 40
3 4 50
4 5 20
4 6 40
5 7 30
6 7 40

输出样例

60

说明

题目中存在两条相关路径
·2→1→4→5→7，该路径中最小相关性为 20。
·2→3→4→6→7，该路径中最小相关性为 40。
综上，第2个节点到第7个节点的相关性为 60。

数据范围

对于所有数据，保证 2<N<100，1 <M<1000,1≤S≠T≤N,1≤a,b<N,f(a,b)< 108

题目解析

这道题本质上是图的路径搜索问题。
假设有一个图，其中有N个节点，M条边，已知出发点S和结束点T，求经过S和T的路径有多少条，这些路径即为“相关路径”。
遍历这些相关路径，求得每条路径上最小权重值，该值即为该路径的最小相关性。
将每条路径的最小相关性累加。
如下图所示：

根据题目的要求，题目中存在两条相关路径
·2→1→4→5→7，该路径中最小的权重的边为4→5，权重为 20。
·2→3→4→6→7，该路径中最小的权重的边为2→3，权重为 40。
则2→7的相关性为两条路径的最小权重之和=20+40=60。

解题思路

整体思路概述

代码在整体上采用网络流算法中的 Dinic 算法来解决视频相关性计算的问题，本质上是将视频看作图中的节点，视频之间的相关性看作边的权重，通过寻找从起始视频节点（S）到目标视频节点（T）的所有相关路径，并计算每条路径上的最小相关性之和来得到最终结果。

数据结构与初始化部分

定义常量与全局变量：

定义了 INF 表示一个极大值（通过 sys.maxsize 获取），用于表示流量的无穷大概念（在网络流算法里常用）。

定义了 N 和 M 分别作为节点数量和边数量的上限值，初始化了 head（用于存储邻接表的表头指针）、d（用于存储节点的距离标号）、e（存储边的信息的列表）、k（边的索引计数）以及 n、m、s、t（分别对应输入的节点数、边数、起始节点、目标节点，后续会重新赋值）等全局变量。

定义节点类 Node：
用于表示图中的边，包含了起点 u、终点 v、边的流量（即为相关性权重）flow 以及指向下一条边的指针 next，通过这个类可以方便地构建图的邻接表结构。

初始化函数 add：
用于向图中添加边，每添加一条边，实际上会在邻接表中添加两条互为反向的边（一条正向表示从 u 到 v 的边，另一条反向边流量初始化为 0，这是网络流算法处理反向边的常见做法），同时更新 k（边的索引）以及对应的邻接表表头 head。

核心算法部分（基于 Dinic 算法）

广度优先搜索函数 bfs：

首先将所有节点的距离标号 d 初始化为 0，然后将起始节点 s 加入队列 que，并标记其距离标号 d[s] 为 1。

接着进入循环，不断从队列中取出节点 x，遍历其所有出边（通过邻接表结构，从 head[x] 开始），对于那些未被标记距离标号（d[e[i].v] == 0）且边的流量（权重）大于 0 的邻接节点 e[i].v，将其加入队列，并更新其距离标号为当前节点距离标号加 1（d[e[i].v] = d[x] + 1）。

只要在搜索过程中发现目标节点 t 的距离标号被更新了，就表示找到了从 s 到 t 的一条增广路径，返回 True；否则当队列为空还没找到时，返回 False。这个过程实际上是在构建分层图，为后续的深度优先搜索找增广路做准备。

深度优先搜索函数 dfs：

以当前节点 u 和可流经的流量 flow 作为参数，当 u 等于目标节点 t 时，说明找到了一条从 s 到 t 的完整路径，直接返回当前流量 flow。

否则，尝试沿着距离标号递增（d[e[i].v] == d[u] + 1）且边的流量大于 0 的边进行深度优先搜索，调用 dfs 函数递归地找下一层节点，每次传递的流量是当前剩余流量 res 和当前边的流量 e[i].flow 中的较小值（min(res, e[i].flow)）。

如果递归返回的流量 temp 为 0，表示当前边无法继续拓展增广路了，将对应节点的距离标号置为 0（d[e[i].v] = 0）；然后更新剩余流量 res，同时减少当前边正向边的流量、增加反向边的流量（这是网络流算法中反向边的作用体现，用于回退流量和寻找其他增广路）。

最后返回本次从 u 出发实际能推送的流量（flow - res）。

Dinic 算法主函数 dinic：

在一个循环中不断调用 bfs 函数构建分层图，如果存在增广路（bfs 返回 True），则进入内层循环不断调用 dfs 函数找增广路并更新最大流（这里的最大流值累加对应相关性的计算，每次找到一条增广路就相当于找到了一条相关路径，并把路径上能通过的流量累加起来，类比于相关路径的最小相关性累加），直到找不到增广路（dfs 返回 0）为止，最后返回累加得到的相关性总和（也就是最大流的值）。

主程序部分

输入处理：
通过 input().split() 获取输入的节点数 n、边数 m、起始节点 s 和目标节点 t，然后循环 m 次，每次读取一条边的起点 u、终点 v 和相关性权重 f，并调用 add 函数将边添加到图中。
结果输出：
调用 dinic 函数计算并直接输出第 S 部视频到第 T 部视频的相关性结果。

代码实现

import os
import sys
# 引入双端队列，用于后续广度优先搜索中存储节点
from collections import deque

# 定义一个极大值，用于表示类似无穷大的概念，例如在网络流中表示流量无上限等情况
INF = sys.maxsize

# 定义节点数量的上限值，这里是一个预估的较大值，方便处理不同规模的图数据
N = 105
# 定义边数量的上限值，同样是预估的较大值，便于应对不同输入情况
M = 1005

# head列表用于存储邻接表的表头指针，初始化为 -1，表示每个节点初始时没有出边
head = [-1] * N
# d列表用于存储节点的距离标号，初始化为0，后续在广度优先搜索分层图构建中会更新
d = [0] * N
# e列表用于存储图的边信息，每条边用一个Node类实例表示
e = []
# k用于记录边的索引，方便在邻接表中添加和查找边
k = 0
# n, m, s, t分别用于存储输入的节点数、边数、起始节点、目标节点，初始先赋值为0，后续会重新读取输入进行赋值
n, m, s, t = 0, 0, 0, 0

# 定义Node类，用于表示图中的边
class Node:
    def __init__(self, u, v, flow, next):
        # 边的起点
        self.u = u
        # 边的终点
        self.v = v
        # 边的流量（在这里可以类比视频相关性中的权重）
        self.flow = flow
        # 指向下一条边的指针，用于构建邻接表结构
        self.next = next

# 向图中添加边的函数
def add(u, v, f):
    global k
    # 创建一条从u到v的边，将其添加到边列表e中，并更新对应的邻接表表头指针等信息
    e.append(Node(u, v, f, head[u]))
    head[u] = k
    k += 1
    # 同时添加反向边（在网络流算法中反向边用于回退流量等操作），流量初始化为0
    e.append(Node(v, u, 0, head[v]))
    head[v] = k
    k += 1

# 广度优先搜索函数，用于构建分层图，找到从起始节点s到其他节点的最短距离（以边的数量衡量）
def bfs():
    # 初始化所有节点的距离标号为0
    for i in range(N):
        d[i] = 0
    # 创建队列，并将起始节点s加入队列
    que = deque([s])
    # 标记起始节点s的距离标号为1，表示距离起始点的距离为1（按边的数量算）
    d[s] = 1
    # 只要队列不为空，就进行循环，不断扩展已访问的节点范围
    while que:
        # 取出队列头部的节点
        x = que.popleft()
        # 获取当前节点x的邻接表表头指针
        i = head[x]
        # 遍历当前节点x的所有出边
        while i!= -1:
            # 如果邻接节点e[i].v还未被标记距离标号（即还未访问过）且当前边的流量大于0（表示可以通过这条边继续扩展路径）
            if not d[e[i].v] and e[i].flow > 0:
                # 将邻接节点加入队列
                que.append(e[i].v)
                # 更新邻接节点的距离标号，为当前节点距离标号加1
                d[e[i].v] = d[x] + 1
            # 获取下一条边的指针，继续遍历当前节点的其他出边
            i = e[i].next
        # 如果在搜索过程中，目标节点t的距离标号已经被更新了（说明找到了从s到t的一条路径），则返回True
        if d[t]:
            return True
    # 如果队列为空还未找到到目标节点t的路径，则返回False
    return False

# 深度优先搜索函数，用于在分层图的基础上，沿着距离标号递增的路径寻找增广路，并更新流量
def dfs(u, flow):
    # 如果当前节点u就是目标节点t，说明找到了一条从起始节点到目标节点的完整路径，返回当前可流经的流量
    if u == t:
        return flow
    # res用于记录当前从节点u出发还能分配的剩余流量，初始为传入的flow
    res = flow
    # 获取当前节点u的邻接表表头指针
    i = head[u]
    # 遍历当前节点u的所有出边，只要还有剩余流量可以分配且还有出边可遍历
    while i!= -1 and res > 0:
        # 如果邻接节点的距离标号等于当前节点距离标号加1（符合分层图中距离递增的要求，即沿着增广路的方向）且当前边的流量大于0（表示可以通过这条边推送流量）
        if d[e[i].v] == d[u] + 1 and e[i].flow > 0:
            # 递归调用dfs函数，尝试沿着这条边向邻接节点推送流量，推送的流量取剩余流量res和当前边流量e[i].flow中的较小值
            temp = dfs(e[i].v, min(res, e[i].flow))
            # 如果递归返回的流量为0，说明从邻接节点那边无法继续推送流量了，将邻接节点的距离标号置为0（相当于标记此路不通，后续搜索不再考虑）
            if temp == 0:
                d[e[i].v] = 0
            # 更新剩余流量，减去已经推送出去的流量temp
            res -= temp
            # 减少当前边正向边的流量，表示已经推送了部分流量过去
            e[i].flow -= temp
            # 增加当前边反向边的流量，这是网络流算法中利用反向边回退流量、寻找其他增广路的关键操作
            e[i ^ 1].flow += temp
        # 获取下一条边的指针，继续遍历当前节点的其他出边
        i = e[i].next
    # 返回从当前节点u出发实际能推送出去的流量（即初始传入的流量减去剩余未推送出去的流量）
    return flow - res

# Dinic算法主函数，通过不断调用bfs构建分层图，然后调用dfs寻找增广路来计算最大流（在这里类比视频相关性总和）
def dinic():
    ans = 0
    # 只要通过bfs能构建出分层图（即存在增广路），就进入循环
    while bfs():
        # 在每次构建好分层图后，不断调用dfs寻找增广路并更新最大流，直到找不到增广路（dfs返回0）为止
        while True:
            temp = dfs(s, INF)
            if temp == 0:
                break
            ans += temp
    return ans

if __name__ == "__main__":
    # 读取输入的节点数、边数、起始节点、目标节点
    n, m, s, t = map(int, input().split())
    # 循环读取每一条边的信息，并调用add函数将边添加到图中
    for _ in range(m):
        u, v, f = map(int, input().split())
        add(u, v, f)
    
    # 调用dinic函数计算并输出第S部视频到第T部视频的相关性（通过网络流算法计算得到的类似最大流的值）
    print(dinic())

代码运行结果

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7 8 2 7
2 1 50
2 3 40
1 4 40
3 4 50
4 5 20
4 6 40
5 7 30
6 7 40
60
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