图（Graph）是一种非常灵活且强大的数据结构，用于表示实体之间的复杂关系。在图结构中，数据由一组节点（或称为顶点）和连接这些节点的边组成。图可以用于表示社交网络、交通网络、网络路由等场景。
1. 基本概念
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节点（Vertex）：图中的一个点，代表一个对象或实体。
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边（Edge）：连接两个节点的线，代表节点之间的关系。
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邻接（Adjacency）：如果两个节点之间有边相连，则称这两个节点是邻接的。
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路径（Path）：一系列相连的边，从一个节点开始，经过若干个中间节点，到达另一个节点。
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环（Cycle）：起点和终点是同一个节点的路径。
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连通图（Connected Graph）：图中任意两个节点之间都存在路径。
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强连通图（Strongly Connected Graph）：有向图中，任意两个节点之间都存在有向路径。
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树（Tree）：一种特殊的图，没有环，且任意两个节点之间只有一条路径。
2. 表示方法
2.1 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：
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使用一个二维数组来表示图，数组的行和列代表节点，元素值表示节点之间是否有边。
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适用于稠密图，即边的数量接近节点数量平方的图。
2.2 邻接表（Adjacency List）：
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使用一个链表数组来表示图，每个链表包含与该节点相连的所有节点。
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适用于稀疏图，即边的数量远小于节点数量平方的图。
3. 遍历算法
3.1 深度优先搜索（Depth-First Search, DFS）：
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类似于树的前序遍历，使用栈（递归或显式栈）来实现。
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从任意节点开始，尽可能深地搜索图的分支。
public class GraphDFS {
private int V; // 节点数
private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表
// 构造函数
@SuppressWarnings("unchecked")
public GraphDFS(int v) {
V = v;
adj = new LinkedList[v];
for (int i = 0; i < v; ++i)
adj[i] = new LinkedList();
}
// 添加边
public void addEdge(int v, int w) {
adj[v].add(w); // 添加w到v的邻接表
}
// DFS算法
public void DFS(int v) {
boolean visited[] = new boolean[V];
// 调用递归的DFS函数
DFSUtil(v, visited);
}
// 递归的DFS函数
void DFSUtil(int v, boolean visited[]) {
// 标记当前节点为已访问
visited[v] = true;
System.out.print(v + " ");
// 递归访问所有未访问的邻接节点
for (int i = 0; i < adj[v].size(); i++) {
int n = adj[v].get(i);
if (!visited[n])
DFSUtil(n, visited);
}
}
// 测试DFS算法
public static void main(String[] args) {
GraphDFS g = new GraphDFS(4);
g.addEdge(0, 1);
g.addEdge(0, 2);
g.addEdge(1, 2);
g.addEdge(2, 0);
g.addEdge(2, 3);
g.addEdge(3, 3);
System.out.println("DFS starting from vertex 2 : ");
g.DFS(2);
}
}3.2 广度优先搜索（Breadth-First Search, BFS）：
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类似于树的层序遍历，使用队列来实现。
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从任意节点开始，逐层遍历图中的节点。
import java.util.*;
public class GraphBFS {
private int V; // 节点数
private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表
// 构造函数
@SuppressWarnings("unchecked")
public GraphBFS(int v) {
V = v;
adj = new LinkedList[v];
for (int i = 0; i < v; ++i)
adj[i] = new LinkedList();
}
// 添加边
public void addEdge(int v, int w) {
adj[v].add(w); // 添加w到v的邻接表
}
// BFS算法
public void BFS(int s) {
boolean visited[] = new boolean[V];
// 创建一个队列用于BFS
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
// 标记起始节点为已访问并入队
visited[s] = true;
queue.add(s);
while (queue.size() != 0) {
// 出队一个节点
s = queue.poll();
System.out.print(s + " ");
// 访问其所有未访问的邻接节点
for (int i = 0; i < adj[s].size(); ++i) {
int n = adj[s].get(i);
if (!visited[n]) {
visited[n] = true;
queue.add(n);
}
}
}
}
// 测试BFS算法
public static void main(String[] args) {
GraphBFS g = new GraphBFS(4);
g.addEdge(0, 1);
g.addEdge(0, 2);
g.addEdge(1, 2);
g.addEdge(2, 0);
g.addEdge(2, 3);
g.addEdge(3, 3);
System.out.println("BFS starting from vertex 2 : ");
g.BFS(2);
}
}4. 算法应用
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最短路径问题：
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Dijkstra算法：适用于带有非负权重的图。
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Bellman-Ford算法：适用于带有负权重的图。
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Floyd-Warshall算法：计算图中所有节点对的最短路径。
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最小生成树问题：
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Kruskal算法：贪心算法，适用于边的集合是无序的。
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Prim算法：贪心算法，适用于节点的集合是无序的。
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网络流问题：
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Ford-Fulkerson方法：计算网络中的最大流。
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Edmonds-Karp算法：使用BFS来实现Ford-Fulkerson方法。
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