多项式回归（Polynomial Regression）是一种回归分析方法，它将自变量 xx 和因变量 yy 之间的关系建模为 nn 次多项式。多项式回归的目的是找到一个 nn 次多项式函数，使得这个函数能够最好地拟合给定的数据点。

多项式回归的数学表达式为：

其中：

• yy 是因变量。
• xx 是自变量。
• β0,β1,…,βnβ0​,β1​,…,βn​ 是回归系数。
• ϵϵ 是误差项，表示模型无法解释的随机误差。

多项式回归可以看作是线性回归的扩展，因为线性回归是 n=1n=1 时的特殊情况。当数据点之间的关系不是线性的，而是曲线时，多项式回归可以提供更好的拟合。

多项式回归的参数估计通常使用最小二乘法（Least Squares Method），该方法通过最小化误差项的平方和来找到最佳的回归系数。最小二乘法的数学表达式为：

 

其中 mm 是数据点的数量。

多项式回归模型的评估通常使用以下指标：

• 决定系数（R-squared）：表示模型解释的因变量的方差比例。
• 调整后的决定系数（Adjusted R-squared）：考虑了自变量数量对决定系数的影响。
• 均方误差（Mean Squared Error, MSE）：表示预测值与实际值之间的平均平方误差。
• 均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）：MSE的平方根，表示预测值与实际值之间的平均误差。

例子： 

注册了 18 辆经过特定收费站的汽车。假设已经记录了汽车的速度和通过时间（小时）。

x 轴表示一天中的小时，y 轴表示速度：

Python 有一些方法可以找到数据点之间的关系并画出多项式回归线。

// 导入所需模块：
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

// 创建表示 x 和 y 轴值的数组：
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]

// NumPy 有一种方法可以让我们建立多项式模型：
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))

// 然后指定行的显示方式，我们从位置 1 开始，到位置 22 结束：
myline = numpy.linspace(1, 22, 100)

// 绘制原始散点图：
plt.scatter(x, y)

// 画出多项式回归线：
plt.plot(myline, mymodel(myline))

// 显示图表：
plt.show()

结果：