知识要点：函数的嵌套调用和递归调用
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一、任务分析
二、必备知识与理论
三、任务实施
一、任务分析
本任务要求用递归法求 n!。
我们知道n!=n×(n-1)×(n-2)×……×1=n(n-1)!递归公式为：
1.上面公式分解为n!=n×(n-1)!，即将求n!的问题变为求(n-1)!的问题，(n-1)!= (n-1)×(n-2)!，即将求(n-1)!的问题变为求(n-2)!的问题，再将求(n-2)!的问题变为求(n-3)!的问题，依此类推，直到最后成为求0!，这是递推过程；
2.反过来求0!=1，1!，2!，3!，……，n!，为“回归过程”。
二、必备知识与理论
1．函数的嵌套调用
在C语言中，函数定义都是互相平行、独立的模块，无隶属关系，只存在调用和被调用的关系，除了主函数不能被其他函数调用外，其它函数之间都可以互相调用。
【例5.4】写两个函数，分别求两个整数的最大公约数和最小公倍数，用主函数调用这两个函数，并输出结果。
算法分析：在数学上，两数的最小公倍数=两数乘积/两数的最大公约数。
求两个数的最大公约数应用辗转相除法：已知两个整数M和N，假定M>N，则求M%N，若余数r为0，则N即为所求；若余数r不为0，用N除r，再求其余数……直到余数为0，则除数就是M和N的最大公约数。
程序代码如下：
#include <stdio.h>
int gcd(int a,int b) /* 求最大公约数——辗转相除法 */
{ int r,t;
if(a<b)
{t=a;a=b;b=t;}
r=a%b;
while(r!=0)
{a=b;
b=r;
r=a%b; }
return (b);
}
int lcm(int a,int b) /* 求最小公倍数 */
{
int r;
r=gcd(a,b);
return(a*b/r);
}
main() /* 主函数 */
{
int x,y;
printf("please input two numbers:\n");
scanf("%d,%d",&x,&y);
printf("%d\n",gcd(x,y));
printf("%d\n",lcm(x,y));
}运行结果：
please input two numbers:
66,78↙
6
858
在这个例子中，主函数首先调用了函数gcd()求最大公约数，然后调用函数lcm()求最小公倍数，而在函数lcm()中又调用了函数gcd()，这就是一个函数嵌套调用的过程。
注意：①函数之间没有从属关系，一个函数可以被其它函数调用，同时该函数也可以调用其它函数。
②在C语言中，函数可以嵌套调用，但不可以嵌套定义。
2．函数的递归调用
函数的递归调用实际上是函数嵌套调用的一种特殊情况。在调用一个函数的过程中直接或间接地调用该函数本身，称为函数的递归调用。直接调用称为直接递归调用，间接调用称为间接递归调用。程序中常用的是直接递归。将这种在函数体内调用该函数本身的函数称为递归函数。
三、任务实施
用递归的方法求n!
我们知道n!=n×(n-1)×(n-2)×……×1=n(n-1)!递归公式为：
算法分析：
(1)上面公式分解为n!=n×(n-1)!，即将求n!的问题变为求(n-1)!的问题，(n-1)!= (n-1)×(n-2)!，即将求(n-1)!的问题变为求(n-2)!的问题，再将求(n-2)!的问题变为求(n-3)!的问题，依此类推，直到最后成为求0!，这是递推过程；
(2)反过来求0!=1，1!，2!，3!，……，n!，为“回归过程”。
(3)以求4的阶乘为例，4!=4×3!，3! =3×2!，2!=2×1!，1!=1，0!=1，它的递归结束条件是当n=1或n=0时，n!=1。
#include <stdio.h>
float fac(n)
{ float f;
if(n<0) printf("n<0,data error\n");
else if(n==0||n==1) f=1;
else f=fac(n-1)*n; /* 递归调用 */
return(f);
}
main()
{
int n;
float y;
printf("input an integer number:");
scanf("%d",&n);
y=fac(n); /* 调用递归函数 */
printf("%d!=%10.0f\n",n,y);
}运行情况如下：
input an integer number:4↙
4!= 24
递归过程分为两个阶段，第一阶段是“回推”阶段，即将求解4!变成求解4×3!，3!变成求解3×2!……直到1!=1为止；第二阶段是“递推”阶段，即根据2×1!得到2!，再根据3×2!得到3!，4×3!得到4!，结果为24。显然，在一个递归过程中，回推阶段是有限的递归调用过程，这样就必须要有递归结束条件，否则会无限地递归调用下去。
本例的递归结束条件为：当n的值为0或为1时，fac(n)的值为1； n<0时，作为错误输入数据。
在递推阶段中，函数执行完后必定要返回主调函数，通过return语句将fac(n)的值带回到上一层fac(n)函数，一层一层返回，最终在主函数中得到fac(4)的结果。
注意：一个合法的递归应该由两部分构成，一是递推公式，二是结束条件，缺少任何一个都无法利用递归解决问题。
最后对递归函数作如下概括：
(1)有些问题既可以用递归的方法解决，也可以用递推的方法解决。有些问题不用递归是难以得到结果的，如汉诺塔。某些问题，特别是与人工智能有关的问题，本质上是递归的。
(2)递归函数算法清晰，代码简练。如汉诺塔问题可谓复杂，程序却极为简单。
(3)从理论上讲，递归函数似乎很复杂，其实它是编程中一类问题的算法，最为直 接。一旦熟悉了递归，它就是处理这类问题的最清晰的方法。
(4)C编译系统对递归函数的自调用次数没有限制，但当递归层次过多时，可能会引起内存不足而造成运行出错，尤其是函数内部定义较多的变量和较大的数组时。
(5)函数递归调用时，在栈上为局部变量和形参分配存储空间，并从头执行函数代 码。递归调用并不复制函数代码，只是重新分配相应的变量，返回时再释放存储空间。递归需要保存变量、断点、进栈、出栈，增加许多额外的开销，会降低程序的运行效率，所以程序设计中又有一个递归消除的问题。
