1、什么是Miller-Rabin

Miller - Rabin 算法是一种用于判断一个数是否为素数的概率性算法。在密码学等领域，经常需要快速判断一个大整数是否为素数。传统的试除法对于大整数效率极低，而 Miller - Rabin 算法能够在较短时间内以较高的概率判断一个数是否为素数。

2、相关数学基础

费马小定理

如果p是素数，a是整数且a与p互质（即 gcd(a,b)=1 ），那么。不过费马小定理的逆定理不成立，即满足的p不一定是素数。这就是为什么单纯依赖费马小定理来判断素数会有问题，Miller-Rabin算法就是在此处进行改进。

反例：卡迈克尔数（伪质数）

卡迈克尔数 
 

定义：对于合数n，如果对于所有与n互质的正整数b，都有同余式成立，则称合数n为卡迈克尔数。
性质：

• 至少是三个不同素数的乘积：每个卡迈克尔数至少是三个不同素数的乘积，例如最小的卡迈克尔数
• 满足 Korselt 准则：卡迈克尔数的等效定义，当正合数n满足以下三个性质时，它就是一个卡迈克尔数：必须包含不止一个质因数；质因数均不重复；对于每一个能被n整除的质数p， 也可以被 整除。

因为对于卡迈克尔数n，都有成立，但n不是素数（费马小定理的逆定理不成立）

二次探测定理

如果p是奇素数，x是小于p的正整数，且，那么或者。

3、算法步骤

如果先不考虑卡迈克尔数，常规判断n是否是素数（概率）：枚举底数，，判断等于多少，如果，那么n大概率是素数。

但卡迈克尔数不是素数，却满足，所以需要筛掉卡迈克尔数，使用Miller-Rabin算法能进行有效筛掉卡迈克尔数。

如何筛掉卡迈克尔数呢？
第一次是进行费马小定理，第二次通过二次探测原理来筛掉卡迈克尔数。

二次探测定理：
假设 p 是一个素数，那么 p 显然是奇数，所以 p-1 显然是偶数。
假设有，p-1 是偶数，令，则有。
由费马小定理得，，
那么，平方差变形可得，则说明或。

也就是说，第一次是进行了费马小定理，但此时还没筛去卡迈克尔数，就需要通过判断或是否成立，如果成立则说明不是卡迈克尔数且大概率是素数，否则不是素数。

如果将 ，可得，令，可得序列，通过同余定理，可得序列每一项mod p后的序列为，由同余定理得知，mod p后的序列里，如果是x ->...-> -1 -> 1...序列中间有一个-1的，那么-1之后就只能是1；如果中间没有-1，那么之后也就不会是1；所以有：

1. p是质数：要么起始就是1，要么中间出现-1
2. p是合数：中间没有出现-1

4、代码实现

python

import random
def miller_rabin(n, k):
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    # 分解n - 1为2^s * d的形式
    s = 0
    d = n - 1
    while d % 2 == 0:
        s += 1
        d //= 2
    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        x = pow(a, d, n)
        if x == 1 or x == n - 1:
            continue
        for _ in range(s - 1):
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n - 1:
                break
        else:
            return False
    return True

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

// 快速幂取模运算，用于计算 (a^b) % m
int pow_mod(int a, int b, int m) {
    int result = 1;
    a %= m;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            result = (result * a) % m;
        }
        a = (a * a) % m;
        b >>= 1;
    }
    return result;
}

// Miller-Rabin素性测试算法
bool miller_rabin(int n, int k) {
    if (n == 2) return true;
    if (n % 2 == 0 || n < 2) return false;

    // 分解 n - 1 为 2^s * d 的形式
    int s = 0;
    int d = n - 1;
    while (d % 2 == 0) {
        s++;
        d /= 2;
    }

    // 进行k轮测试
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a = rand() % (n - 3) + 2;  // 选取 [2, n - 2] 之间的随机数作为底数
        int x = pow_mod(a, d, n);
        if (x == 1 || x == n - 1) continue;

        bool composite = true;
        for (int r = 1; r < s; r++) {
            x = pow_mod(x, 2, n);
            if (x == n - 1) {
                composite = false;
                break;
            }
        }
        if (composite) return false;
    }
    return true;
}

//测试
int main() {
    srand(static_cast<unsigned int>(time(nullptr)));
    int num = 121;  // 这里可以替换成你想要测试的数
    int round = 5;  // 测试轮数，可以根据需求调整
    if (miller_rabin(num, round)) {
        std::cout << num << " 可能是素数" << std::endl;
    } else {
        std::cout << num << " 是合数" << std::endl;
    }
    return 0;
}

5、时间复杂度