初识树（二叉树，堆，并查集）

本篇博客将涉及到一些专业名词：结点、深度、根、二叉树、满二叉树、完全二叉树、堆、并查集等。

概要

树型结构是一类重要的非线性数据结构。其中以树和二叉树最为常用，直观看来，树是以分支关系定义的层次结构。把它叫做“树”是因为它常看起来像一棵倒挂的树，也就是说它常是根朝上，而叶朝下的。

树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树来形象表示。树在计算机领域中也得到广泛应用，如在操作系统中,可用树来表示文件系统的结构。又如在数据库系统中，树形结构也是信息的重要组织形式之一 [1]。（来源《百度百科》）

这是一棵树，我们把它倒过来，就是数据结构中的树了。

树和图乍一看比较相似，但是图里面每个顶点之间是有回路的，但是在树中没有回路，树就是没有回路的连通无向图。如下图所示，左边是树，右边树图。

Linux中的"tree"指令、家族谱，思维导图，树在生活中很常见，因为它一目了然。

我们对树进行一些定义，树是指任意两个结点有且仅有一条路径的无向图。没有回路的连通无向图就是树。

数据结构中，树的形态可以是多变的，如上图所示，左右两边是同一棵树地不同形态。在树中的每一个点称为一个结点，我们为了更好地运用树和确定树的形态，我们在树中指定一个特殊的结点——根结点（也称祖先），根结点确定了，数的形态基本就确定了。

树中的每个结点都有自己的深度，左边图中1的深度是1，2和3的深度是2，剩下的4、5、6、7深度为3；

两个相邻深度中的相邻几个结点（如2、4、5）可以区分为父结点、子结点和兄弟结点。其中2为4、5的父结点，那么4、5就是2的子结点；4、5互为兄弟结点。

没有父结点的就是根结点，没有子结点的就是叶结点，其余的叫做内部结点。

二叉树

顾名思义，二叉树就是每个结点最多只有两个子结点，左边为左儿子，右边为右儿子。二叉树有很多规律，帮助我们更好地解决问题。比如结点i,它的左儿子就是i*2，右儿子是i*2+1,它的父结点就是i/2。（均为整型，向下取整）

二叉树可分为满二叉树和完全二叉树，满二叉树中每个内部结点都有两个儿子，所有叶结点地深度是一样的，严格定义：一个深度为h，且有 $2^h-1$ 个结点的二叉树。

完全二叉树指除了最右边位置上有一个或者几个叶节点缺失外，其余都是满的。严格定义：若设二叉树的深度为h，除h层外，其它各层的结点数都达到最大，从h层从右向左连续缺若干个结点。这样就保证了如果一个结点有右结点，那么它一定有左结点。满二叉树可以理解为是一种完美的完全二叉树。

满二叉树类似形状：

因为二叉树是有规律的，所以我们通过一个一维数组便可以存储整个树。如下图：

如果一个完全二叉树有 $N$ 个结点那么这个完全二叉树的深度为 $\log_2N+1$ ,简写为 $log_2N$ ,及最多有 $log_2N$ 层结点。完全二叉树的最典型的应用就是——堆。

堆——优先队列

堆是一种特殊的完全二叉树，利用 $N$ 个结点深度为 $log_2N$ 的特点，优化算法的时间复杂度。

如下图所示就是一个堆：

特殊之处就是所有父结点都比子结点要小（本图中圆圈内为值，里面是编号）。这个就是最小堆，相反如果所有父结点都比子结点要大那就是最大堆。

现在我们要找出n个数中的最小值，直接遍历的话时间复杂度是O(N)，除了n个这个操作的时间复杂度就是O( $N^2$ ),我们用堆就可以很好的优化。

我们利用堆，就是在一次次构造堆，所以我认为会学会了构造堆就可以应用了。

最小堆

我们现在有14个数：99、5、36、7、22、17、46、12、2、19、25、28、1、92。我们现在要构造一个最小堆。我们整个过程几乎只需要做一件事，那就是向下调整，保证每个子节点都小于父结点。（初始树如下）

那么如何保证每个子节点都小于父结点呢？我们利用就像俄罗斯套娃的思路，从最后一个父结点开始，遍历每一个父节点，保证每一个父结点都小于它的子结点（兄弟结点之间的大小关系不用管）。也就是从N/2开始到第一个结点，这些都是父结点，通过这个这种方法我们便构造了一个最小堆，并且根结点一定是最小的（这一点特别重要）。

我们取出一部分来演示，我们从第N/2个结点开始（值为46结点），分别与其左右子结点比较（其只有一个结点，即左结点），方框内为每次形成的最小堆。注意红色和绿色箭头部分，如果我们按照红色箭头来走，那么值为1的结点的左儿子形成的堆就不是最小堆。

因为在这个步骤中虽然保证了值为1的结点形成的是最小堆，但是由于交换的值36没有继续向下调整，不能保证下边还是最小堆，所以我们需要将每次交换的值继续向下调整，直到无法向下调整为止（绿色箭头所示）。

这样我们就构成了一个最小堆，构成最小堆之后，我们可以交换根结点和第n个结点的值，然后输出n结点的值，再执行n--和将根节点向下调整；每次n--便是依次循环，直到所有结点全部输出，输出结点的顺序就是从小到大排列的顺序了。(这一点类似于队列出队)

这样我们就通过一遍遍构建最小堆的方法，从小到大输出数值，这便是最小堆排序。

最大堆

相比较最小堆，我认为更常用的是最大堆排序，因为最小堆是将原数组的数一个个全部取出来输出，如果想储存的话，还需要一个数组，而最大堆排序后直接从1到N输出原数组就是排序后的结果了。

同一个数组构造最大堆，还是将根结点与n结点交换，还是n- -，还是向下调整，只不过每次是父结点都大于子结点,根节点为最大值，故每次交换后n结点都是最大值（n越来越小），这样的到的原数组就是从小到大排序了。

向下调整和向上调整

上边已经理清了堆排序的思路，现在还有一个重要的问题们就是如何向下调整（也可以向上调整）

向下调整的话，因为叶节点没有子结点，所以我们只需要从N/2到1的每个结点进行向下调整就行了。每次的思路就是 $i$ 结点（ $1 \leq i \leq \frac{N}{2}$ ）、 $i*2$ 结点、 $i*2+1$ 结点，这三个结点选出最大的（最小堆就是选最小的），如果需要交换，就将新得到的子结点作为父结点继续向下交换，直到不能交换为止。

/*最大堆*/
void siftdown(int i,int n,int *h)/*向下调整*/
{
    int t,flag=0;
    while (i*2<=n && flag==0)
    {
        if (h[i] < h[i*2])/*与左儿子比较*/
            t=i*2;/*大的是左儿子*/
        else    
            t=i;/*大的是父亲*/
        if(i*2+1 <= n)
        {
            if (h[t] < h[i*2+1])/*将t再与右儿子比较*/
                t=i*2+1;      
        }
        if (t!=i)
        {
            swap(t,i,h);/*需要交换，将交换过的子节点作为父结点继续向下交换*/
            i=t;
        }
        else 
            flag = 1;/*不需要再继续循环交换*/
    }   
}

向上调整其实就是反过来，只不过它的范围要从N到2结点，故需要遍历N-1次，相比较向上调整时间多一点，因为只有根结点没有父结点。

void siftup(int i,int *h)/*向上调整*/
{
    int flag=0;
    if (i==1)
    {
        return ;
    }
    while (i!=1 && flag == 0)
    {
        //判断是否比父节点小
        if (h[i]<h[i/2])
        {
            swap(i,i/2,h);
        }
        else 
            flag=1;
        i=i/2;
    }  
}

最小堆排序完整代码

输入：

14

99 5 36 7 22 17 46 12 2 19 25 28 1 92

输出：

1 2 5 7 12 17 19 22 25 28 36 46 92 99

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>

void swap(int x,int y,int *num);
void siftdown(int i,int n,int *h)/*向下调整*/
{
    int t,flag=0;
    while (i*2<=n && flag==0)
    {
        if (h[i] > h[i*2])
            t=i*2;
        else    
            t=i;
        if(i*2+1 <= n)
        {
            if (h[t] > h[i*2+1])/*兄弟结点之间比较或者父子之间比较，保证与最小的交换*/
                t=i*2+1;      
        }
        if (t!=i)
        {
            swap(t,i,h);
            i=t;
        }
        else 
            flag = 1;
    }
    
}

void swap(int x,int y,int *num)
{
    int t;
    t=num[x];
    num[x]=num[y];
    num[y]=t;
}

int main() 
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int *num=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    memset(num,0,sizeof(int)*n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d",&num[i]);
    }
    for (int  i = n/2; i>=1; i--)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            printf("%8d",num[j]);
        }
        putchar('\n');
        siftdown(i,n,num);
    }
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            printf("%8d",num[j]);
        }
        putchar('\n');

    for (int i = 1,n_falg=n; i <= n; i++)
    {
        int t;
        t=num[1];
        num[1]=num[n_falg];
        n_falg--;
        siftdown(1,n_falg,num);
        printf("%3d",t);
    }
    return 0;
}

最大堆排序完整代码

输入：

14

99 5 36 7 22 17 46 12 2 19 25 28 1 92

输出：

1 2 5 7 12 17 19 22 25 28 36 46 92 99

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>

void swap(int x,int y,int *num);
void siftdown(int i,int n,int *h)/*向下调整*/
{
    int t,flag=0;
    while (i*2<=n && flag==0)
    {
        if (h[i] < h[i*2])/*与左儿子比较*/
            t=i*2;/*大的是左儿子*/
        else    
            t=i;/*大的是父亲*/
        if(i*2+1 <= n)
        {
            if (h[t] < h[i*2+1])/*将t再与右儿子比较*/
                t=i*2+1;      
        }
        if (t!=i)
        {
            swap(t,i,h);/*需要交换，将交换过的子节点作为父结点继续向下交换*/
            i=t;
        }
        else 
            flag = 1;/*不需要再继续循环交换*/
    }   
}

void swap(int x,int y,int *num)
{
    int t;
    t=num[x];
    num[x]=num[y];
    num[y]=t;
}

int main() 
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int *num=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    memset(num,0,sizeof(int)*n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d",&num[i]);
    }
    for (int  i = n/2; i>=1; i--)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            printf("%8d",num[j]);
        }
        putchar('\n');

        siftdown(i,n,num);
    }
    int n_flag=n;
    while (n_flag>1)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            printf("%5d",num[i]);
        }
        putchar('\n');
        
        swap(1,n_flag,num);
        n_flag--;
        siftdown(1,n_flag,num);

    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        printf("%3d",num[i]);
    } 
    return 0;
}

并查集

并查集（Disjoint Set Union，DSU）是一种森林结构，所谓森林结构，就是由多棵树组成的数据结构。

并查集支持两种操作：

合并（Union）：合并两个元素所属集合（合并对应的树）
查询（Find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于判断两个元素是否属于同一集合

我们直接看一道例题：

擒贼先擒王

快过年了，犯罪分子们也开始为年终奖“奋斗”了，小哼的家乡出现了多次抢劫事件。由于强盗人数过于庞大，作案频繁，警方想查清有几个犯罪团伙不太容易，不过警察收集到了一些线索，需要咱们帮忙分析一下：

现在有10个强盗，关系如下：

1号强盗与2号强盗是同伙。

3号强盗与4号强盗是同伙。

5号强盗与2号强盗是同伙。

4号强盗与6号强盗是同伙。

2号强盗与6号强盗是同伙。

8号强盗与7号强盗是同伙。

9号强盗与7号强盗是同伙。

1号强盗与6号强盗是同伙。

2号强盗与4号强盗是同伙。

有一点需要注意：强盗同伙的同伙也是同伙，你能帮助警方查出有多少个独立的犯罪团伙嘛？

这十个强盗就可以看成是10颗树，如果两个强盗之间是同伙就把他们连线，形成一片森林，最后有几个森林就代表有几个犯罪团伙。思路很好理解，接下来就是通过代码实现。

我们用一个数组num来表示这个树，数组大小为n，每个数的初始化为自己的下标，代表自己的父节点为自己，即自己构成一个树林，初始的时候有十个树林(每个森林都是以树这个数据结构储存)。

这里我们就规定如果x号强盗与y号强盗是同伙。那么x就是y的父节点。（成为“靠左定则”）

num[y]=x;

通过这一个操作，我们边=便已经形成了上边那张图，我们通过肉眼区分，直到这是三个森林，但怎么样让计算机知道呢？

这里采用的方法是通过判断num[y]==y来做的，如果等于，那就代表有一个森林，因为一个森林中只有一个根结点，只有根结点才指向自己。

这个时候我们就需要对上边大代码进行修改了，我们将上边的图稍微整理一下就会发现问题：这更像是一个图，而不是树！

那么我们就需要把这个图转化为树，来解决这个问题，怎么转化呢？我们要保证每一个结点只有一个父节点。

这里我们重新模拟一下这个过程：

1号强盗与2号强盗是同伙。

3号强盗与4号强盗是同伙。

5号强盗与2号强盗是同伙。

再执行第三个线索的时候，发现2结点已经有一个父结点了，不能再有第二个父结点了，这里2已经和别的结点构成一个森林，森林中只有根结点没有父结点,这里我们采用的方法是将2结点的根结点作为 $y$ ，5结点为x，做 $num[y]=x$ （如果 x 也有父节点，那么也是找到这个森林的根节点作为 $y$ ） ,这样便完美解决了这个问题，如下图所示：

通过这样的方法执行，便形成了树：

代码实现：

int getf(int v,int *num)
{
    if (num[v]==v)/*v结点就是根结点*/
    {
        return v;
    }
    else
    {
        num[v]=getf(num[v],num);/*寻找v的父结点*/
        return num[v];
    }
    
}

 void Union(int x,int y,int *num)
 {
    int t1=getf(x,num);/*判断x是不是本森林的根节点*/
    int t2=getf(y,num);/*判断y是不是本森林的根节点*/
    if (t2!=t1)/*t1与t2不属于同一个森林*/
    {
        num[t2]=t1;
    }
    return ;
 }

输入：m+1行，第一行输入n，m代表罪犯人数和显示，接下来m行输入x，y代表x号强盗与y号强盗是同伙

11 10

1 2

3 4

5 2

4 6

2 6

7 11

8 7

9 7

9 11

1 6

输出：一个数字代表犯罪团伙

3

完整代码：

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<string.h>

int getf(int v,int *num)
{
    if (num[v]==v)/*v结点就是根结点*/
    {
        return v;
    }
    else
    {
        num[v]=getf(num[v],num);/*寻找v的父结点*/
        return num[v];
    }
    
}

 void Union(int x,int y,int *num)
 {
    int t1=getf(x,num);/*判断x是不是本森林的根节点*/
    int t2=getf(y,num);/*判断y是不是本森林的根节点*/
    if (t2!=t1)/*t1与t2不属于同一个森林*/
    {
        num[t2]=t1;
    }
    return ;
 }

 int main()
 {
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int * dis=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        dis[i]=i;
    }
    for (int i = 1,x,y; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        Union(x,y,dis);/*靠左定则*/
    }
    int sum=0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i]==i)
        {
            // printf("dis=%d\n",dis[i]);/* 根结点 */
            sum++;
        }
            
    }
    printf("%d",sum);
    return 0;
 }