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强化学习是一种模仿生物行为的学习方法，在不确定环境中寻找最优策略。多臂老虎机（Multi-Armed Bandit, MAB）是强化学习的经典问题之一，模拟了在多个选择中如何平衡探索和利用，以获取最大的长期回报。本篇文章将详细讲解多臂老虎机问题的理论背景、数学模型，以及如何用Python实现常见的强化学习策略（如 ε-贪婪算法、UCB 和汤普森采样）。文章包含大量代码示例与中文注释，帮助读者深入理解强化学习的核心思想，并掌握在多臂老虎机问题中的应用。

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目录

1. 什么是多臂老虎机？
   • 背景与定义
   • 应用场景
2. 强化学习与多臂老虎机的理论基础
   • 奖励函数
   • 探索与利用
3. Python实现多臂老虎机模拟环境
4. ε-贪婪算法
   • 理论分析
   • Python实现与实验
5. 上置信界（UCB）算法
   • 理论分析
   • Python实现与实验
6. 汤普森采样（Thompson Sampling）算法
   • 理论分析
   • Python实现与实验
7. 策略比较与性能评估
8. 总结与扩展

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1. 什么是多臂老虎机？

1.1 背景与定义

多臂老虎机问题是一种决策优化问题，源于赌场中的老虎机场景：

假设有 ( k ) 台老虎机，每台老虎机的奖励分布未知。玩家的目标是在有限的尝试次数内选择拉动哪台老虎机的手柄，以最大化累积奖励。

数学上，多臂老虎机问题可以描述为：

• ( k ) 个老虎机对应 ( k ) 个概率分布 ( P_1, P_2, \ldots, P_k )。
• 每次选择老虎机 ( i ) 会产生一个奖励 ( r \sim P_i )。
• 玩家希望找到一个策略 ( \pi )，使得累计奖励最大化。

1.2 应用场景

多臂老虎机问题的应用场景包括：

• 广告推荐：选择显示哪种广告，以最大化点击率。
• 医疗试验：选择最佳治疗方法以提高疗效。
• Web实验：优化网站布局以提升用户体验。

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2. 强化学习与多臂老虎机的理论基础

2.1 奖励函数

在多臂老虎机问题中，奖励函数定义为：
$$R=\sum _{t=1}^T{r}_t$$
其中：

• ( r_t ) 是在第 ( t ) 次尝试中的奖励。
• ( T ) 是尝试的总次数。

2.2 探索与利用

多臂老虎机问题的核心挑战是**探索（Exploration）与利用（Exploitation）**之间的权衡：

• 探索：尝试未被充分选择的老虎机，以了解其奖励分布。
• 利用：选择当前已知最优的老虎机，以最大化即时奖励。

解决这一权衡需要设计策略，常见的策略包括：

1. ε-贪婪算法：在大多数情况下选择当前最优动作，但偶尔随机探索。
2. 上置信界（UCB）算法：使用奖励的置信区间来指导选择。
3. 汤普森采样（Thompson Sampling）：基于贝叶斯更新概率分布进行采样。

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3. Python实现多臂老虎机模拟环境

首先，我们实现一个多臂老虎机的模拟环境，用于生成奖励。

import numpy as np

class MultiArmedBandit:
    """
    多臂老虎机模拟环境
    """
    def __init__(self, arms):
        """
        初始化
        :param arms: 每个老虎机的中奖概率列表
        """
        self.arms = arms
        self.k = len(arms)

    def pull(self, arm):
        """
        拉动指定老虎机的手柄
        :param arm: 选择的老虎机编号（0 <= arm < k）
        :return: 奖励（0 或 1）
        """
        if arm < 0 or arm >= self