动态系统特征分析：特征向量、特征值、频率与阻尼比、参与因子计算方法

news2024/12/26 19:32:21

特征值和特征向量在动态系统分析中是核心工具，广泛用于电力系统小信号稳定性、机械系统模态分析等领域。以下详细介绍计算方法及应用。

1. 求解特征值与特征向量

对于一个 $n\times n$ 的系统矩阵 $A$ ：

右特征向量与特征值

特征值( $\lambda$ )及对应右特征向量( $\mathbf{v}$ )满足以下特征方程：
$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$

常用数值计算工具：

Python：numpy.linalg.eig(A)得到特征值和右特征向量。
MATLAB：[V,D]=eig(A)，其中 $D$ 为特征值对角矩阵， $V$ 为右特征向量矩阵。

左特征向量

左特征向量( $\mathbf{u}$ )满足：
$\mathbf{u}^T A=\lambda\mathbf{u}^T$
或等价于：
$A^T\mathbf{u}=\lambda\mathbf{u}$

计算左特征向量可通过对 $A^T$ 求右特征向量实现。

左右特征向量的正交性

左特征向量 $\mathbf{u}_i$ 与右特征向量 $\mathbf{v}_j$ 之间满足正交性：
$\mathbf{u}_i^T\mathbf{v}_j=\delta_{ij}$
其中 $\delta_{ij}$ 为Kronecker delta。

2. 频率与阻尼比计算

假设特征值 $\lambda$ 为复数，表示为：
$\lambda=\sigma+j\omega$

实部 $\sigma$ 为系统的衰减率；
虚部 $\omega$ 为振荡角频率。

频率计算

振荡频率 $f$ ：
$f=\frac{\omega}{2\pi}$

阻尼比计算

阻尼比 $\zeta$ 定义为：
$\zeta=-\frac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}$

$\zeta>1$ ：过阻尼系统（无振荡）；
$\zeta=1$ ：临界阻尼系统；
$0<\zeta<1$ ：欠阻尼系统（伴随振荡）；
$\zeta=0$ ：无阻尼（纯振荡）；
$\zeta<0$ ：不稳定系统。

3. 示例代码

特征矩阵分析

对于一个复杂的矩阵 $A$ ：

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

MATLAB代码

以下代码计算矩阵 $A$ 的特征值、左右特征向量、频率及阻尼比：

% 定义复杂的特征矩阵 A
A = [2, 1, 0, 0; 
    -1, 3, 1, 0; 
     0, -2, 4, 1; 
     0, 0, -1, 5];

% 求解特征值和右特征向量
[V, D] = eig(A);  % V 为右特征向量，D 为特征值对角矩阵

% 提取特征值
eigenvalues = diag(D);

% 左特征向量（通过 A' 求解特征值和特征向量）
[U, ~] = eig(A');  % U 的列为左特征向量

% 计算参与因子矩阵
Participation_Factors = abs(U' * V);

% 计算频率和阻尼比
omega = imag(eigenvalues);             % 振荡角频率
sigma = real(eigenvalues);             % 衰减率
frequencies = omega / (2 * pi);        % 振荡频率 (Hz)
damping_ratios = -sigma ./ abs(eigenvalues);  % 阻尼比

% 打印结果
disp('特征值:');
disp(eigenvalues);

disp('右特征向量:');
disp(V);

disp('左特征向量:');
disp(U);

disp('频率 (Hz):');
disp(frequencies);

disp('阻尼比:');
disp(damping_ratios);

% 打印结果
disp('参与因子矩阵:');
disp(Participation_Factors);