1. AVL的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的
左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，
通过控制⾼度差去控制平衡。

• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962
年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何
结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，
AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，
就像⼀个⻛向标⼀样。

• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更
好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐
如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0

• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可
以控制在 O(logN)，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升

列如：
当树的平衡因子达到2时就要旋转：

插入到14的左节点，使得10的平衡因子变成2。

因为AVL树的左右高度相差不超过2，那么我们就要旋转来改变树的结构

AVL树的实现

2.1 AVL树的结点结构

                                                  结点的结构

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
public:
pair<K,L> _kv;
AVLTreeNode<K,V>* _left;
AVLTreeNode<K,V>* _right;
AVLTreeNode<K,V>* _parent;
int _bf=0;平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
 :_kv(kv)
 ,_left(nullptr)
 ,_rigth(nullptr)
 ,_parent(nullptr)
 ,_bf(0)
{}
};

结点需要以下几个元素组成:

1：数据（Key,Value）pair类型的数据

2：节点指针(为方便指向结点，进行更新)

3：平衡因子(时刻保持着树的高度之差<2)

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树的插入的一个大概操作：

1、插入时，如果树结点为空，那么就直接构造节点，直接插入
2、插入时要按照搜索二叉树规则来进行插入
3、插入后，平衡因子只会影响租先结点的高度，也就是说祖先结点的平衡因子会改变，
那么平衡因子更新规律（从新增结点开始，往上传（这就体现了父亲节点指针的用处了），直到特殊条件停止或更新到根结点了）
特殊条件下面会讲~
4、更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
5、如果更新时出现平衡因子为二的情况时就要旋转了

2.2.2 AVL树的平衡因子更新

更新规则：
1：
平衡因子=右高度-左高度 ------------------------ (同时也可以 平衡因子= 左高度-右高度,那么以下更新平衡因子的规则就要改变)
2：
只有当前结点的高度改变时，才会导致结点的平衡因子改变

当插入13时高度改变，使得10的平衡因子的改变

3：
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因子

4：
parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

2.2.3 平衡因子的停止条件

1：
更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前
parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会
影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

如图：
变化前：

变化后：

2：
更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说
明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所
在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。

3：
更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说
明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼
了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把
parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不
需要继续往上更新，插⼊结束。

(1)
往高的那边你插入数据导致平衡因子变为2

2.2.4 再不考虑旋转的角度上实现AVL树的插入

typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
bool insert(const pair<K,V>& kv)
{
1:根节点为空则直接构造赋值
if(_root=nullptr)
{
 _root=new Node(kv);
 return true;插入完成给值
}
找出kv的位置
Node* parent=nullptr
Node* cur=_root;
while(cur)
{
if(cur->_kv.first<kv.first)
{
 插入的值大于cur指向结点的值,那么久往右找
 parent=cur;
 cur=cur->_right;
}
else if(cur->_kv.first>kv.first)
{
  插入的值小于当前节点的值,那么就往左走
  parent=cur;
  cur=cur->_left;
}
else
{
  找到与kv.first 的结点的值,那么久返回插入失败
  return false
}
}
出来这个循环后,就要构建结点来连接了
cur=new Node(kv);
if(parent->_kv.first<kv.first)这里用父亲节点来连接
{
 parent->_right=cur;
}
else
{
parent->_left=cur;
}
cur->_parent=parent;别忘了是三叉链（这里博主就会经常忘记）


插入节点后,开始调节平衡因子:
while(parent)因为从parent插入结点，那么避免不了要改变parent的平衡因子
{
if(cur==parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
从这里开始就会用到平衡因子的停止条件
if(parent->_bf==0)
{
更新结束
break;
}
else if(parent->_bf==1||parent->_bf==-1)
{
往上更新
  cur=parent;
  parent=parent->_parent;
}
else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
{
这里就需要旋转,因为现在不考虑旋转,所以这里空着
break;
}
else
{
其他因素
assert(false);用assert报错
}
}
}
return true; 走到这里返回成功
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什
么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的规则即可。

2.3.2 右单旋

• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，
是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/
图5进⾏了详细描述。

• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平
衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要
往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新
的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原
则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

也就是说旋转是哪边高就往那边压数据：
1、这里的左节点太高了那么就把结点5往右压10
2、5作为根结点,5的右边结点给了10的左边结点
3、10变成了5的右边结点

按照以上规律：
既能保持旋转后还是AVL树，还能让平衡因子更新成<2

根据不同情况结果也不一样:
a、b、c
h=0

h=1

h=2

这里a的结构只能是x,因为为y或z时那么旋转的结点就不是5了，而是y或z结点*
那么a就只有4处可以插入值导致5的平衡因子为2,而b或c是以上x,y,z三种情况都可以
那么搭配就有3**3*4=36种搭配结果

2.2.3 右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subL;
}
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.3.4 左单旋

• 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，
是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类
似。

• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平
衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往
左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵
树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转
原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

这里与右单旋大差不差

2.3.5 左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if(subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.3.6 左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变
成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边
⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边
⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树
这棵树就平衡了。

• 图7和图8分别为左右双旋中h== 0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL
⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为
我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置
不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，
引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引
发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋
转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

这里可以看出来8左旋后把左节点连接到5的右结点上来。
再来一个右旋使得8为根了，而8的右结点给了10的左节点了

如果是：左边结点高，且不是插入到a的子树上的，先左旋在右旋
------------右边结点高，且不是插入到a的子树上的，那么就先右旋在左旋

2.3.7 左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if(bf == 1)
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}

2.4 AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查—下结点
的平衡因⼦更新是否出现了问题。

int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者
// pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则—定不是AVL树
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;
return false;
}
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树—定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
// 测试代码
void TestAVLTree1()
{
AVLTree<int, int> t;
// 常规的测试⽤例
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
for (auto e : a)
{
t.Insert({ e, e });
}
t.InOrder();
cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
// 插⼊—堆随机值，测试平衡，顺便测试—下⾼度和性能等
void TestAVLTree2()
{
const int N = 100000;
vector<int> v;
v.reserve(N);
srand(time(0));
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
v.push_back(rand()+i);
}
size_t begin2 = clock();
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : v)
{
t.Insert(make_pair(e, e));
}
size_t end2 = clock();
cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
cout << t.IsBalanceTree() << endl;
cout << "Height:" << t.Height() << endl;
cout << "Size:" << t.Size() << endl;
size_t begin1 = clock();
// 确定在的值
/*for (auto e : v)
{
t.Find(e);
}*/
// 随机值
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
t.Find((rand() + i));
}
size_t end1 = clock();
cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;

结束!!!