简易入手《SOM神经网络》的本质与原理

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本网结构化讲解神经网络的知识，原理和代码。

重现matlab神经网络工具箱的算法，是学习神经网络的好助手。

一、入门原理解说

01. 基于Kohonen规则的聚类算法

02. SOM聚类的思想

03. SOM神经网络的拓扑图

04. SOM的模型表达式

编后语

二、SOM-代码重写(单样本训练)

01. 代码结构说明

02. 代码运行结果解说

03. 具体代码

SOM神经网络(Self-organizing Feature Map)是Kohonen在1981年提出的一种用于聚类的神经网络，是神经网络家族中经典、重要且广泛应用的一员。

本篇第一节先聚焦于讲清SOM是个什么东西，解决什么问题，思路是什么，有什么特性，
第二节则扒取matlab的源码，自写《SOM-单样本训练算法》，即用自己的代码逻辑重现matlab工具箱的效果。

笔者语

SOM不是一个困难的算法，但要讲清SOM,却是一个困难的问题。

笔者曾想一张文章讲完SOM，左揉右捏，后来发现，这鬼东西，越图快越不行。

为什么SOM必须慢慢讲述，主要是因为SOM的思想经历了三阶段：

Kohonen规则 --> 单样本训练 --> 批量样本训练

想直接讲述批量样本训练根本讲不了。

谨此，希望读者也不要图快，一步一步来。

一、入门原理解说

01. 基于Kohonen规则的聚类算法

聚类问题

口语描述：假设数据是一团团的，我们希望找出这些一团团数据的中心点(聚类中心)，样本离哪个聚类中心最近，就将样本判为该聚类中心。

基于Kohonen规则的聚类方法

kohonen规则聚类很简单，

先随机初始化k个聚类中心点，

然后每次选出一个样本，将离它最近的聚类点往它移动，使该聚类点更靠近它，如此反复m次。

更新法则如下：

$w_{k} = w_k+\text{lr}*(x-w_k)$

其中，
$w_k$ ：离样本最近的聚类中心点。
$\text{lr}$ : 学习率。

kohonen规则的有效性

kohonen规则虽然简单，然而它却是行之有效的。

且看一个Demo：

平面中有四簇数据，
我们先随机初始化5个聚类中心点，
然后使用Kohonen规则调整聚类中心点的位置，

可以看到，经过一定步数后，聚类中心点移到了四类数据的中心位置附近。

Demo代码：

% Kohonen聚类规则
rand('seed',70);
%------------生成样本数据-------------
dataC = [2.5,2.5;7.5,2.5;2.5,7.5;7.5,7.5]; % 生成四个样本中心
sn = 40;  % 样本个数
X = rand(sn,2)+dataC(mod(1:sn,4)+1,:); % 随机生成样本点


% -----------初始化聚类中心点--------------
kn = 5;              % 聚类中心点个数
C  = rand(kn,2)*10;  % 随机生成聚类中心
C0 = C;              % 备份聚类中心点的初始值


% -----------使用样本训练聚类中心点-----------
lr = 0.1;   % 学习率
for t = 1:50
    for i = 1:sn
        cur_x    = X(i,:);                             % 提取一个样本
        dist     = sum((repmat(cur_x,kn,1) - C).^2,2); % 计算样本到各个聚类中心点的距离
        [~,idx]  = min(dist);                          % 找出最近的聚类中心点
        C(idx,:) = C(idx,:)  + lr*(cur_x - C(idx,:));  % 将该聚类中心点往样本靠近
    end
end


% ----------画图------------------------
subplot(1,2,1)
plot(X(:,1),X(:,2),'*');
hold on 
plot(C0(:,1),C0(:,2),'or','MarkerFaceColor','g');


subplot(1,2,2)
plot(X(:,1),X(:,2),'*');
hold on 
plot(C(:,1),C(:,2),'or','MarkerFaceColor','g');

02. SOM聚类的思想

SOM是Kohonen规则的改进，

它在更新离样本最近的聚类中心点P的的时候，会把P的邻近聚类中心点也一起更新。

请注意，初学者很容易误会，以为SOM所指的邻近聚类点就是目标聚类点附近的聚类点，其实不是，SOM对“邻近聚类点”有自己的定义。

SOM聚类点的距离与邻近聚类点

SOM是先引入一个拓扑结构，把所有聚类点连结在一起，然后籍此来定义距离。

拓扑结构

拓扑结构可以是一维的，二维的，三维的，等等，最常用是二维
例如最常用的二维六边形拓扑结构：

距离的定义

在SOM中，两点之间的距离，
是指在引入的拓扑结构中，这两点之间的最小边数。

邻近聚类点

点P的邻近聚类点是指与P的最小连结边数小于某个阈值的聚类点。
例如，
当邻域距离阈值为1时，点P的邻近聚类点，是与点P直接连接的点。
当邻域距离阈值为2时，则是到达点P不超过2条边的聚类点。
当邻域距离阈值为k时，就是指经过m（m<=k)条边可达点P的聚类点。

SOM的更新方法

SOM更新的方法与上面所说的Kohonen规则思想是一样的，
不同点在于，SOM在更新离样本最近的聚类中心点P的的时候，会把P的邻近聚类中心点也一起更新

更细节的，有以下三点：

1、更新邻近聚类点：
更新样本最近点P的同时，P的邻近聚类点也一起更新，(P的学习率要比邻近聚类点更大一些)。

2、增加学习率的收缩机制：
随着更新步数，学习率越来越小。

3、邻近距离收缩机制：
随着更新步数，邻近距离阈值越来越小，渐渐的，只有目标点及其邻边聚类点。

比起纯粹的Kohonen规则，虽然改动不大，在代码编写上，却要复杂很多。
复杂是因为要初始化拓扑结构，获得点与点之间的距离矩阵(这里说的距离是上面所说的边数)，以便在更新时获取邻近聚类点。

说明

●  以上的更新方法来自matlab老版本的单样本训练算法(learnsom)。
●  matlab新版本已采用了批量更新算法(learnsomb)。
两种方法的细节，我们都另起文章细讲，并扒出源码，重现matlab的实现逻辑。

03. SOM神经网络的拓扑图

网络拓扑图

SOM神经网络是典型的三层神经网络，
拓扑图如下：

第一层是输入层
第二层是隐层，
隐层有多少个隐节点，就代表有多少个聚类中心点 ( 聚类中心点的位置就是该隐节点与输入的连接权重 ) 。
第三层是输出层
输出层是one-hot格式（即[0 0 0 1]这样的格式），
它的节点与隐层节点个数一致，
它的值由隐层节点竞争得到，即隐层节点哪个值最大，对应的输出节点就为1，其余为0。

带隐层拓扑的网络拓扑图

往往还会把隐层节点之间的拓扑结构一起画上，
则SOM的网络拓扑图会如下：

PASS:输出节点之间的拓扑结构对于最终模型的应用上是没有任何影响的，它只是在训练过程中需要使用。

04. SOM的模型表达式

SOM的模型数学表达式为：

$\text{y} = \textbf{compet}(-\textbf{dist}(x,W))$

其中，

● dist 为x和W的欧氏距离

例如，2输出3隐节点时， $x=[x_1,x_2]$ , $W = \begin{bmatrix} w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \\ w_{31} & w_{32} \end{bmatrix}$

则：

$\displaystyle \textbf{dist}(x,W) = \begin{bmatrix} \sqrt{(x_1- w_{11})^2+(x_1- w_{12})^2} \\ \\ \sqrt{(x_1- w_{21})^2+(x_1- w_{22})^2}\\ \\ \sqrt{(x_1- w_{31})^2+(x_1- w_{32})^2} \end{bmatrix}$

● compet 为竞争函数,

它将向量最大的值置为1，其实置0
例如，compet([ 2 5 3 ]) = [ 0 1 0 ]

SOM模型输出的计算，简单来说，就是x离W哪行最近，就为1，其余为0.

背后意义就是离哪个聚类中心点近，就判为哪个聚类点。

编后语

本文我们先大概摸清SOM神经网络是什么，
它的思路其实并不复杂，只是Kohonen的基础上，在隐节点引入了一个拓扑结构来定义邻域
由于我们往往看到的基本都是带隐节点拓扑结构的网络拓扑图，很容易产生误会，以为隐层节点间相互连接，
其实隐节点的拓扑图只在训练阶段用于获取邻域节点，与最终的模型并没有任何关系。
在接下来的文章，我们把SOM的代码按matlab内部逻辑实现后，我们将更清晰SOM算法的具体细节与算法流程。