《⼆叉搜索树》
- 1. ⼆叉搜索树的概念
- 2. ⼆叉搜索树的性能分析
- 3 二叉树的功能说明及实现
- 3.1 ⼆叉搜索树的插⼊
- 3.2 ⼆叉搜索树的查找
- 3.3 ⼆叉搜索树的删除
- 4二叉搜索树的实现代码
- 5 ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
- 5.1 key搜索场景:
- 5.2 key/value搜索场景:
- 5.3 key/value⼆叉搜索树代码实现
- 结束!!!
1. ⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树,它或者是⼀棵空树,或者是具有以下性质的⼆叉树:
1• 若它的左⼦树不为空,则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
2• 若它的右⼦树不为空,则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
3• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
4• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值,也可以不⽀持插⼊相等的值,具体看使⽤场景定义,后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树,其中map/set不⽀持插⼊相等值,multimap/multiset⽀持插⼊相等值
2. ⼆叉搜索树的性能分析
最优情况下,⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树),其⾼度为: O(log2 N)
最差情况下,⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀),其⾼度为: O( 2/N)
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为: O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的,⼆叉搜索树的变形,平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树,才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
【二分查找】
也可以实现O(logN) 级别的查找效率,但是⼆分查找有两⼤缺陷:
1:有序且需支持下标随机访问
2:插⼊和删除数据效率很低,因为存储在下标随机访问的结构中,插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。
这就体现搜索二叉树的重要性。
对于二叉搜索树有着特殊情况:
以上的情况,在普通搜索二叉树中会拖长,搜索时间和访问的时间都会有所延长,为了解决这种情况,就体现了⼆叉搜索树的变形,平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树,才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据的重要性。
3 二叉树的功能说明及实现
3.1 ⼆叉搜索树的插⼊
具体实现如下:
- 树为空,则直接新增结点,赋值给root指针
- 树不空,按⼆叉搜索树性质,插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛,插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛,找到空位置,插⼊新结点。
- 如果⽀持插⼊相等的值,插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛,也可以往左⾛,找到空位置,插⼊新结点。(要注意的是要保持逻辑⼀致性,插⼊相等的值不要⼀会往右⾛,⼀会往左⾛)
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
template<K>
class BStree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool insert(const K& key)
{
Node* cur=_root;
Node* parent=nullptr;
if(_root==nullptr)
{
_root = new Node(key);
}
while(cur)
{
if(cur->_key<=key)
{
parent=cur;
cur=cur->right;
}
else if(cur->_key>key)
{
parent=cur;
cur=cur->left;
}
esle
{
return false;
}
}
cur=new Node(key);
if(parent->_key<=key)
parent->_right=cur;
else
parent->_left=cur;
return true;
}
private:
Node* _root=nullptr;
}
3.2 ⼆叉搜索树的查找
-
从根开始⽐较,查找x,x⽐根的值⼤则往右边⾛查找,x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
-
最多查找⾼度次,⾛到到空,还没找到,这个值不存在。
-
如果不⽀持插⼊相等的值,找到x即可返回
没有重复的元素的普通查找
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return true;
}
return false;
}
- 如果⽀持插⼊相等的值,意味着有多个x存在,⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图,查找3,要
找到1的右孩⼦的那个3返回
有重复元素的查找,那就的依靠中序来遍历第一个元素
3.3 ⼆叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中,如果不存在,则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理:(假设要删除的结点为N)
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦位空,右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦位空,左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案:
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空,直接删除N结点(情况1可以当成2或者3处理,效果是⼀样
的) - 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦,直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦,直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点,因为N的两个孩⼦⽆处安放,只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点
R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N,因为这两个结点中任意⼀个,放到N的
位置,都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换,转⽽变成删除R结
点,R结点符合情况2或情况3,可以直接删除。
bool erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)//找到对应元素
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else//删除节点(左右节点为空是被包含在,左节点为空或右节点为空的情况下的,所以不用考虑这种情况)
{
if (cur->_left == nullptr)//1:左节点为空
{
if (parent == nullptr)//判断是否删除的是根节点
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)//2:右节点为空
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else//3:双节点
{
Node* replace = cur->_right;
Node* replaceparent = cur;
while (replace->_left)//找到替换节点
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceparent->_left == replace)
replaceparent->_left = replace->_right;
else
replaceparent->_right = replace->_right;
delete replace;
return true;
}
return false;
}
}
}
4二叉搜索树的实现代码
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return true;
}
return false;
}
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
void _inorder()
{
inorder(_root);
cout << endl;
}
bool erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)//左节点为空
{
if (parent == nullptr)//判断是否删除的是根节点
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)//右节点为空
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else//双节点
{
Node* replace = cur->_right;
Node* replaceparent = cur;
while (replace->_left)//找到替换节点
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceparent->_left == replace)
replaceparent->_left = replace->_right;
else
replaceparent->_right = replace->_right;
delete replace;
return true;
}
return false;
}
}
}
private:
void inorder(Node * root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
inorder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
inorder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
5 ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
5.1 key搜索场景:
只有key作为关键码,结构中只需要存储key即可,关键码即为需要搜索到的值,搜索场景只需要判断
key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查,但是不⽀持修改,修改key破坏搜索树结
构了。
场景1:⼩区⽆⼈值守⻋库,⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区,那么物业会把买了⻋位的业主的
⻋牌号录⼊后台系统,⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中,在则抬杆,不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆,⽆
法进⼊。
场景2:检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确,将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树,读取⽂章中的单
词,查找是否在⼆叉搜索树中,不在则波浪线标红提⽰。
5.2 key/value搜索场景:
每⼀个关键码key,都有与之对应的值value,value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存
储key还要存储对应的value,增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较,可以快速查
找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改,但是不⽀持修改key,修
改key破坏搜索树结构了,可以修改value。
场景1:简单中英互译字典,树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂),搜索时输⼊英⽂,则同时
查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2:商场⽆⼈值守⻋库,⼊⼝进场时扫描⻋牌,记录⻋牌和⼊场时间,出⼝离场时,扫描⻋牌,查
找⼊场时间,⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓,计算出停⻋费⽤,缴费后抬杆,⻋辆离场。
场景3:统计⼀篇⽂章中单词出现的次数,读取⼀个单词,查找单词是否存在,不存在这个说明第⼀次
出现,(单词,1),单词存在,则++单词对应的次数。
5.3 key/value⼆叉搜索树代码实现
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
// pair<K, V> _kv;
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree<K, V>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur -> _right;
else
parent->_right = cur -> _right;
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur -> _left;
else
parent->_right = cur -> _left;
}
delete cur;
return true;
}
else
{
Node * rightMinP = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinP->_left == rightMin)
rightMinP->_left = rightMin -> _right;
else
rightMinP->_right = rightMin -> _right;
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
结束!!!
压力不是有人比你努力,而是比你牛叉几倍的人依然在努力。每个优秀的人,都有一段沉默的时光继承就讲到这里谢谢大家的观看!!!